В работе исследуется начально-краевая задача типа Штурма для уравнения теплопроводности с ку­сочно-постоянным коэффициентом и производной Капуто порядка < α < 1 по времени. Рассматрива­емая область представляет собой интервал :", , содержащий строго внутреннюю точку разрыва x = x₀. С физической точки зрения эта задача моделирует процесс распространения темпепатупиого поля в тонком стержне длины . Стержень является составным и состоит из двух участков (0, x₀)  и (x₀, l),  обладающих различными теплофизическими характеристиками. В точке контакта двух сред x = x₀ задаются условия идеального контакта, подразумевающие непрерывность температуры и непрерывность теплового потока при переходе из одной среды в другую. Основной целью работы является обоснование решения поставлен­ной начально-краевой задачи методом разделения переменных (методом Фурье). Применение этого метода приводит к необходимости исследования соответствующей спектральной задачи для обыкновенного диффе­ренциального оператора с разрывным коэффициентом при старшей производной.

В данной работе анализируется разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона в единичном шаре с нелокальным граничным условием. Граничное условие задается в виде соотношения между значени­ем искомой функции и ее нормальной производной в парах диаметрально противоположных точек единич­ной сферы. Получено необходимое и достаточное условие разрешимости, сформулированное в терминах ортогональности заданных данных правой части уравнения и граничной функции. Доказана единствен­ность решения с точностью до добавления константы. Выведено интегральное представление решения с использованием специально построенной функции Грина для нелокальной задачи, которая выражается че­рез функции Грина соответствующих вспомогательных локальных краевых задач. Кроме того, исследуется связанная спектральная задача. Для ее анализа введены две вспомогательные спектральные задачи с гранич­ными условиями Неймана и Робина и подробно описаны их собственные значения и собственные функции. Показано, что данный подход позволяет получить полную ортонормированную систему собственных функ­ций исходной нелокальной задачи, образующую базис в пространстве L₂(Ω).

В работе рассматривается применение Physics-Informed Neural Networks (PINN) для решения двумер­ного уравнения Пуассона с неоднородными смешанными граничными условиями. Метод PINN объединяет нейросетевые аппроксимации и физические законы, включая невязку уравнения и ошибки на границе в единую функцию потерь. Модель реализована в среде PyTorch и обучалась на выборке, сгенерированной ме­тодом латинской гиперкубической выборки. Для проверки точности проведено сравнение с аналитическим решением, а также с традиционными численными методами. Систематически исследовано влияние ключе­вых гиперпараметров: числа обучающих точек, весов в функции потерь, архитектуры сети и шага обучения. Установлено, что увеличение веса на граничные условия улучшает сходимость и точность, а оптимальные архитектуры с 4-5 скрытыми слоями и 64 нейронами обеспечивают относительную ошибку менее 0.1-0.2%. В отличие от численных схем, требующих сеточной дискретизации, PINN продемонстрировал универсаль­ность и высокую точность при работе с разреженными данными и сложными условиями, что делает его пер­спективным инструментом для задач вычислительной математики и моделирования физических процессов в условиях сложной геометрии и неполной информации.

В работе исследуется локальный аналог свойства строгого порядка внутри сечения для линейно упорядоченных структур, возникающий в теории упорядоченно стабильных моделей. Рассматрива­ется естественная попытка сформулировать это свойство через конечные цепи строго вложенных формульных подмножеств, пересеченных с реализациями сечения. Показано, что в такой формули­ровке это свойство не является элементарным: она может выполняться в элементарном расширении, но не сохраняться в исходной модели и, следовательно, не дает корректного локального критерия. Для устранения этого недостатка вводится понятие строгой вложенности выпуклых компонент опре­делимых множеств, а также его равномерная версия для семейств формул с параметрами. Доказы­вается, что свойство строгого порядка внутри сечения эквивалентно существованию равномерного свойства вложенности выпуклых компонент. Полученный результат уточняет локальную природу данного свойства, показывает его отличие от классического локального свойства строгого порядка и позволяет применять его при исследовании упорядоченно стабильных теорий и их моделей. Тем самым работа дополняет критерий упорядоченной стабильности.

В настоящей статье исследуется задача управления для одномерного псевдопараболического уравнения с нелокальным граничным условием типа Бицадзе-Самарского. Управляющая функция входит в правую часть уравнения в виде распределенного источника, и цель состоит в том, чтобы перевести систему из нулевого начального состояния так, чтобы средневзвешенная температура следовала заданной траектории. Уравнение содержит член третьего порядка со смешанной производной, который учитывает эффекты памяти или вязкоупругости в теплопроводности, что особенно важно для материалов с внутренней структурой, таких как полимеры, биологические ткани и гранулированные среды. С помощью спектрального разложения и биортогонального базиса задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого рода. Доказано, что ядро этого интегрального уравнения положительно и непрерывно. При соответствующих предположениях о весовой функции и пространственном распределении управления доказано существование допустимого управления для класса желаемых траекторий с достаточно малой нормой. Для решения интегрального уравнения и получения оценок управляющей функции используется метод преобразования Лапласа. Результаты количественно характеризуют влияние нелокального граничного условия и параметра памяти на управляемость системы.