В работе исследуется двухточечная краевая задача для нагруженного дифференциального уравнения с дробной производной Капуто. Для исследования поставленной задачи применяется метод параметризации Джумабаева. В рамках данного подхода исходный промежуток разбивается на конечное число частей, вводятся дополнительные параметры и новые функции, что позволяет свести исходную краевую задачу к эквивалентной многоточечной краевой задаче с неизвестными параметрами. Устанавливается эквивалентность исходной и преобразованной задач. На основе полученных интегральных представлений строится система алгеб^раических уравнений относительно введённых параметров. Устанавливаются достаточные условия существования и единственности решения, связанные с обратимостью соответствующей матрицы. Для нахождения неизвестных параметров и функций разработан алгоритм, основанный на методе последовательных приближений. Приведён численный пример, демонстрирующий применение предложенного алгоритма и подтверждающий его эффективность. Полученные результаты показывают эффективность метода параметризации при исследовании краевых задач для нагруженных дифференциальных уравнений дробного порядка и построении их приближённых решений.

1. Podlubny I., Fractional Differential Equations. Academic Press, New York, 1999.

2. Diethelm K., Freed A.D., On the solution of nonlinear fractional order differential equations used in the modeling of viscoelasticity, in: F. Keil, W. Mackens, H. Voss, J. Werther (Eds.). Scientific Computing in Chemical Engineering II Computational Fluid Dynamics, Reaction Engineering and Molecular Properties, Springer-Verlag, Heidelberg, 217–224 (1999).

3. Glockle W.G., Nonnenmacher T.F., A fractional calculus approach of self-similar protein dynamics. Biophys. J., 68, 46–53 (1995).

4. Kirchner J.W., Feng X., Neal V., Fractal streamchemistry and its implications for contaminant transport in catchments. Nature, 403, 524–526 (2000). doi.org/10.1038/35000537

5. Lundstrom B.N., Higgs M.H., Spain W.J., Fairhall A.L., Fractional differentiation by neocortical pyramidal neurons. Nat. Neurosci, 11, 1335–1342 (2008). doi.org/10.1038/nn.2212

6. Mainardi F., Fractional calculus: some basic problems in continuum and statistical mechanics, in: A. Carpinteri, F. Mainardi (Eds.). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics, Springer-Verlag, Wien, 291–348 (1997).

7. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J., Theory and Applications of Fractional Differential Equations, in: North-Holland Mathematics Studies. Elsevier Science B.V., Amsterdam, 204 (2006).

8. Miller K.S., Ross B., An Introduction to the Fractional Calculus and Differential Equations. John Wiley, New York (1993).

9. Samko S.G., Kilbas A.A., Marichev O.I., Fractional Integral and Derivatives: Theory and Applications. Gordon and Breach, Longhorne, PA (1993).

10. Lakshmikantham V., Vatsala A.S., Basic theory of fractional differential equations. Nonlinear Anal, 69(8), 2677–2682 (2008). doi.org/10.1016/j.na.2007.08.042

11. Lakshmikantham V., Vatsala A.S., Theory of fractional differential inequalities and applications. Commun. Appl. Anal., 11(3–4), 395–402 (2007).

12. Belarbi A., Benchohra M., Ouahab A., Uniqueness results for fractional functional differential equations with in finite delay in Frechet spaces. Appl. Anal., 85(12), 1459–1470 (2006). doi.org/10.1080/00036810601066350

13. Benchohra M., Henderson J., Ntouyas S.K., Ouahab A., Existence results for fractional order functional differential equations with in finite delay. J. Math. Anal.Appl., 338(2), 1340–1350 (2008). doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.06.021

14. Usmanov K.I., Nazarova K.Zh., Yerkisheva Zh.S., Solvability of a boundary value problem for fractional-order integro-differential equations with involution. Herald of the Kazakh-British Technical University, 23(1), 231–239 (2026). doi.org/10.55452/1998-6688-2026-23-1-231-239

15. Torebek B.T., Turmetov B.K., On solvability of a boundary value problem for the Poisson equation with the boundary operator of a fractional order. Bound Value Probl 2013, 93 (2013). doi:10.1186/1687-2770-2013-93

16. Nakhushev A. M. The loaded equations and their applications. M. Nauka, 2012, p. 232.

17. Iskakova N.B., Bakirova E.A., Khanzharova B.S., Kadirbayeva, Zh.M., An Algorithm for Solving Boundary Value Problems for Delay Differential Equations with Loadings. Lobachevskii Journal of Mathematics, 45(10), 5032–5042 (2024). doi.org/10.1134/S1995080224606064.

18. Bakirova E.A., Iskakova N.B., Kadirbayeva Zh.M., Numerical implementation of solving a boundary value problem including both delay and parameter. Mathematica Slovaca, 75(3), 601–610 (2025). doi.org/10.26577/JMMCS2023v119i3a2

19. Dzhumabaev D.S., Bakirova E.A., Mynbayeva S.T., A method of solving a nonlinear boundary value problem with a parameter for a loaded differential equation. Mathematical Method in Applied Science, 43(4), 1788–1802 (2020). doi.org/10.1002/mma.6003.

20. Abdullaev O.Kh., About a method of research of the non-local problem for the loaded mixed type equation in double-connected domain. Bulletin KRASEC. Phys. Math. Sci, 9(2), 11–16 (2014). doi.org/10.18454/2313-0156-2014-9-2-3-12

21. Islomov B., Baltaeva U., Boudary-value problems for a third-order loaded parabolic-hyperbolic type equation with variable coefficients. Electron. J. Differential Equ., 2015(221), 1–10 (2015). URL: http://ejde.math.txstate.edu

22. Diethelm K., Ford N. J., The analysis of fractional differential equations. Lecture notes in mathematics, Springer Heidelberg Dordrecht London New York, (2010).

23. Ye H., Gao J., Ding Y., A generalized and its application to a fractional differential equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 328(2), 1075-1081. (2007). 10.1016/j.jmaa.2006.05.061