О ЗАДАЧЕ УПРАВЛЕНИЯ ДЛЯ ОДНОМЕРНОГО ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

В настоящей статье исследуется задача управления для одномерного псевдопараболического уравнения с нелокальным граничным условием типа Бицадзе-Самарского. Управляющая функция входит в правую часть уравнения в виде распределенного источника, и цель состоит в том, чтобы перевести систему из нулевого начального состояния так, чтобы средневзвешенная температура следовала заданной траектории. Уравнение содержит член третьего порядка со смешанной производной, который учитывает эффекты памяти или вязкоупругости в теплопроводности, что особенно важно для материалов с внутренней структурой, таких как полимеры, биологические ткани и гранулированные среды. С помощью спектрального разложения и биортогонального базиса задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого рода. Доказано, что ядро этого интегрального уравнения положительно и непрерывно. При соответствующих предположениях о весовой функции и пространственном распределении управления доказано существование допустимого управления для класса желаемых траекторий с достаточно малой нормой. Для решения интегрального уравнения и получения оценок управляющей функции используется метод преобразования Лапласа. Результаты количественно характеризуют влияние нелокального граничного условия и параметра памяти на управляемость системы.

1. Lions J.L. Controle optimal de systemes gouvernes par des equations aux derivees partielles. Dunod Gauthier-Villars, Paris (1968).

2. Chen N., Wang Y., Yang D.H. Time-varying bang-bang property of time optimal controls for heat equation and its applications. Syst. Control Lett., 112, 18–23 (2018).

3. Schmidt G. The "Bang-Bang" principle for the time-optimal problem in boundary control of the heat equation. SIAM J. Control Optim., 18, 101–107 (1980).

4. Albeverio S., Alimov Sh.A. On a time-optimal control problem associated with the heat exchange process. Appl. Math. Optim., 57, 58–68 (2008).

5. Alimov S., Ibragimov G. Time optimal control problem with integral constraint for the heat transfer process. Eurasian Math. J., 15, 8–22 (2024).

6. Xu H. Existence and blow-up of solutions for finitely degenerate semilinear parabolic equations with singular potentials. Commun. Anal. Mech., 15, 132–161 (2023).

7. Wu X., Zhao Y., Yang X. On a singular parabolic p-Laplacian equation with logarithmic nonlinearity. Commun. Anal. Mech., 16, 528–553 (2024).

8. Fayazova Z.K. Boundary control of the heat transfer process in the space. Russian Math., 63, 71–79 (2019).

9. Dekhkonov F.N. Boundary control problem for a parabolic equation with involution. Eurasian J. Math. Comput. Appl., 12, 22–34 (2024).

10. Dekhkonov F.N. On the time-optimal control problem for a heat equation. Bull. Karaganda Univ. Math. Ser., 111, 28–38 (2023).

11. Dekhkonov F., Li W. On the boundary control problem associated with a fourth order parabolic equation in a two-dimensional domain. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 17, 2478–2488 (2024).

12. Dekhkonov F., Turmetov B. On one time-optimal control problem for a parabolic equation with involution in a bounded domain. AIMS Math., 10, 20531–20549 (2025).

13. Dicke A., Veseli´c I. Spherical Logvinenko-Sereda-Kovrijkine type inequality and nullcontrollability of the heat equation on the sphere. Arch. Math., 123, 543–556 (2024).

14. Egidi M., Seelmann A. The reflection principle in the control problem of the heat equation. J. Dyn. Control Syst., 28, 635–655 (2022).

15. Allal B., Fragnelli G., Salhi J. Null controllability for degenerate parabolic equations with a nonlocal space term. Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. S, 17, 1821–1856 (2024).

16. Song D., Zhao X. Large-time behavior of cylindrically symmetric Navier-Stokes equations with temperature-dependent viscosity and heat conductivity. Commun. Anal. Mech., 16, 599–632 (2024).

17. Arada N., Raymond J.P. Time optimal problems with Dirichlet boundary conditions. Discrete Contin. Dyn. Syst., 9, 1549–1570 (2003).

18. Wang G. The existence of time optimal control of semilinear parabolic equations. Syst. Control Lett., 53, 171–175 (2004)70

19. Zhou X. Controllability analysis and application of a pseudo-parabolic equation with memory term. J. Math. Anal. Appl., 556(2), 130259 (2026).

20. Dekhkonov F.N. On the boundary control problem for a pseudo-parabolic equation with involution. Vestnik Sankt-Peterburgskogo Universiteta, Prikladnaya Matematika, Informatika, Protsessy Upravleniya, 20, 416–427 (2024).

21. Dekhkonov F. On one boundary control problem for a pseudo-parabolic equation in a twodimensional domain. Commun. Anal. Mech., 17, 1–14 (2025).

22. Ashurov R.R., Kadirkulov B.J., Turmetov B.Kh. On the inverse problem of the BitsadzeSamarskii type for a fractional parabolic equation. Probl. Anal. Issues Anal., 3, 20–40 (2023).