ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ФИКТИВНЫХ ОБЛАСТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НАВЬЕ-СТОКСА С УЧЕТОМ УДВОЕННОЙ СРЕДНЕЙ КРИВИЗНЫ

В данной работе рассматривается начально-краевая задача для нестационарного течения вязкой несжимаемой жидкости в ограниченной области, решаемая с использованием системы нелинейных уравнений Навье-Стокса. Уравнения описывают движение жидкости с учетом вязкости, давления и массовой силы, а также условия соленоидальности поля скорости. В общем случае нахождение аналитического решения системы уравнений представляет значительные трудности, и до сих пор не доказано, существует ли всегда гладкое решение для всех возможных условий. В связи с этим для решения задачи применяется метод фиктивных областей, позволяющий свести задачу к решению системы дифференциальных уравнений с соответствующими граничными условиями. Особое внимание уделяется введению понятия удвоенной средней кривизны поверхности, которая необходима для применения метода фиктивных областей. Для этого в статье приводится подробное вычисление средней кривизны с использованием параметризации поверхности и матриц первой и второй форм. Также приводится доказательство леммы, связанной с вычислением удвоенной средней кривизны, что имеет важное значение для дальнейших численных методов решения системы уравнений Навье-Стокса. Полученные результаты расширяют область применения метода фиктивных областей в решении задач гидродинамики, особенно в сложных геометриях, и могут быть использованы для разработки более экономичных численных алгоритмов.

1. Вабищевич П.Н. Метод фиктивных областей для задачи математической физики. – М.: Изд-во МГУ, 1991. – 156 с.

2. Коновалов А.Н. Задачи фильтрации многофазной несжимаемой жидкости. – 3-е изд. Singapure et al.: World Scientific, 1994. – 173 с.

3. Glowinski R. and Kuznetsov Y.A. Distributed Lagrange multipliers based on fictitious domain method for second order elliptic problems // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2007. – Vol. 196. – P. 1498–1506.

4. Glowinski R., Pan T., Hesla T.I., Joseph D.D. and Periaux J. A distributed Lagrange multiplier/fictitious domain method for the simulation of flow around moving rigid bodies: Application to particulate flow // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. – 2000. – Vol. 184. – P. 241–267.

5. Girault V., Glowinski R., López H. and J.P. Vila. A boundary multiplier/fictitious domain method for the steady incompressible Navier-Stokes equations // Numerische Mathematik. – 2001. – Vol. 88. – P. 75–103.

6. Glowinski R., Pan T., Hesla T.I., Joseph D.D. and J. Périaux. A Fictitious Domain Approach to the Direct Numerical Simulation of Incompressible Viscous Flow past Moving Rigid Bodies: Application to Particulate Flow // Journal of Computational Physics. – 2001. – Vol. 169. – P. 363–426.

7. Темирбеков Н.М. Приближенные методы решения уравнений вязкой жидкости в областях со сложной геометрией. – Алматы, 2000. – 143 с.

8. Смагулов Ш.С., Данаев Н.Т., Темирбеков Н.М. Моделирование краевых условий для давления и полного напора в задачах гидродинамики с помощью метода фиктивных областей // Доклады Академии наук России. – 2000. – Т. 374. – № 3. – С. 333–335.

9. Orunkhanov M.K., Smagulov Sh.S. The method of fictitious domains for the Navier-Stokes equations in terms of stream function and velocity of the vortex with inhomogeneous boundary conditions //Computational technologies.Novosibirsk: SB RAS. – 2000. – Vol. 5. – No. 3. – P. 46–53. [in Russian]

10. Smagulov Sh.S., Temirbekov N.M., Kamaubaev K.S. Modeling by the method of fictitious regions of the boundary condition for pressure in fluid flow problems // Siberian Journal of Computational Mathematics. – Novosibirsk: SB RAS, 2000. – Vol. 3. – No. 1. – P. 57–71.

11. Smagulov Sh.S., Otelbaev M.O. On a new method of approximate solutions of nonlinear equations in an arbitrary domain // Computational Technology. – 2001. – Vol. 6. – No. 6. – P. 93–107.

12. Temirbekov A.N., Danaev N.T. The method of fictitious regions for the model of the atmospheri boundary layer // Bulletin of KazNU, Mathematics, Mechanics, computer science series. – 2014. – No. 2(81). – P. 98–107.

13. Temirbekov A.N., Wójcik W. Numerical Implementation of the Fictitious Domain Method for Elliptic Equations // International Journal of Electronics and Telecommunications. – 2014. – Vol. 60. – No. 3. – P. 219–223.

14. Temirbekov A.N. Numerical implementation of the method of fictitious domains for elliptic equations // 3rd International Conference on Analysis and Applied Mathematics. – ICAAM 2016. – Vol. 1759. – P. 020053-1–020053-6. https://doi.org/10.1063/1.4959667.

15. Temirbekov A., Malgazhdarov Y., Tleulessova A., Temirbekova L. Fictitious Domain Method for the Navier-Stokes Equations. – Известия НАН РК. Серия физико-математическая. – 2021. – № 3. – С. 138–147.

16. Temirbekov A., Zhaksylykova Z., Malgazhdarov Y., Kasenov S. Application of the Fictitious Domain Method for Navier-Stokes Equations // Computers, Materials & Continua. – 2022. – No. 73(1). – P. 2035–2055. https://doi.org/10.32604/cmc.2022.027830.