О НАХОЖДЕНИИ РЕШЕНИЯ СЕМЕЙСТВА НЕЛИНЕЙНЫХ ДВУХТОЧЕЧНЫХ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

В настоящей работе исследуется краевая задача, относящаяся к семейству линейных дифферен­циальных уравнений с нелинейными двухточечными краевыми условиями. При каждом фиксирован­ном значении параметра семейства исходная задача преобразуется в нелинейную двухточечную краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку такие задачи связаны с нелокальными краевыми задачами, в том числе с системами гиперболических уравнений, определение условий их разрешимости является актуальной задачей. В работе применяется метод параметризации Д.С. Джумабаева, основанный на сведении задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений по параметру и решении начальной задачи для дифференциального уравнения, зависящего от параметра. Для решения используется итерационный метод, при этом обосновываются условия сходимости. Предложенный метод основан на сочетании численного решения задач Коши и решения системы нелинейных уравнений. Полученный алгоритм решения проверяется на конкретных тестовых примерах, что демонстрирует его эффективность. В частности, установлено, что решение соответствующей системы при заданном значении параметра сходится в процессе итераций. Рассматриваемый метод является эффективным методом определения решений краевых задач для семейства линейных дифференциальных уравнений, характеризующихся нелинейными двухточечными краевыми условиями. Практическая эффективность предложенного метода подтверждается результатами численного решения конкретных задач.

1. Dzhumabaev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation // Comput. Math. and Math. Phys. -1989. -Vol. 29, No.1. -P. 34–46. https://doi.org/10.1016/0041-5553(89)90038-4

2. Dzhumabaev D.S., Bakirova E.A., Mynbayeva S.T. A method of solving a nonlinear boundary value problem with a parameter for a loaded differential equation // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -2020. -Vol. 43, No.1. -P. 1788–1802. https//doi.org/10.1002/mma.6003

3. Minglibayeva B.B., Assanova A.T. An existence of an isolated solution to nonlinear twopoint boundary value problem with parameter // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2021. -Vol.42, No.3. -P. 587–597. https://doi.org/10.1134/s199508022103015x

4. Asanova A.T., Kadirbayeva Zh.M. On the numerical algorithms of parametrization methods for solving a two-point boundary-value problem for impulsive systems of loaded differential equations // Computational and Applied Mathematics. -2018. -Vol. 37, No. 1. -P. 4966–4976. https://doi.org/10.1007/s40314-018-0611-9

5. Dzhumabaev D.S., Temesheva S.M. A parametrization method for solving nonlinear twopoint boundary value problems // Computational Mathematics and Mathematical Physics. -2007. -Vol. 47, No. 1. -P. 37–61. https://doi.org/10.1134/S096554250701006X

6. Dzhumabaev D.S., Temesheva S.M. Criteria for the Existence of an Isolated Solution of a Nonlinear Boundary-Value Problem // Ukrainian Mathematical Journal. -2018. -Vol. 70, No. 3. -P. 410–421. https://doi.org/10.1007/s11253-018-1507-y

7. Asanova A.T., Bakirova E.A., Kadirbayeva Zh.M. Numerical implementation of solving a boundary value problem for a system of loaded differential equations with parameter // News of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan. -2019. -Vol. 325, No. 3. -P. 77–84. /- https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.27

8. Kadirbayeva Zh.M. A numerical method for solving boundary value problem for essentially loaded system // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2021. -Vol. 42, No. 3. -P. 551–559. https://doi.org/10.1134/S1995080221030112

9. Temesheva S.M. A modification of a algorithms of the Dzhumabaev parametrization method and a numerical method // International Journal of Information and Communication Technologies. -2020. -Vol. 1, No.2. -P. 66–73.

10. Temesheva S.M., Dzhumabaev D.S., Kabdrakhova S.S. On one algorithm to find a solution to a linear two-point boundary value problem // Lobachevskii Journal of Mathematics. -2021. -Vol. 42, No.3. -P. 606–612. https://doi.org/10.1134/S1995080221030173

11. Темешева С.М., Абдиманапова П.Б., Борисов Д.И. Об одном методе решения семейства нелинейных краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Каз НПУ им.Абая Серия "Физико-математические науки". -2021. -Т. 73, №. 1. -С. 70–76. https://doi.org/10.51889/2021-1.1728-7901.09

12. Asanova A.T., Imanchiev A.E. The problem with non-separated multipoint integral conditions for high-order differential equations and a new general solution // Quaestiones Mathematicae. -2022. -Vol. 45, No. 10. -P. 1641–1653. https://doi.org/10.2989/16073606.2021.1967503

13. Iskakova N.B., Temesheva S.M., Uteshova R.E. On a problem for a delay differential equation // Mathematical Methods in the Applied Sciences. -2022. -Vol. 46, No. 9. -P. 11283–11297. https://doi.org/10.1002/mma.9181

14. Abdimanapova P.B., Temesheva S.M. Well-posedness criteria for one family of boundary value problems. Bulletin of the Karaganda University, Mathematics series. -2023. -Vol. 112, No.4. -P. 5–20. / https://doi.org/10.31489/2023M4/5-20

15. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. -М.: Наука, 1970. -536 с.