О НЕКОТОРЫХ НЕЛОКАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ПУАССОНА

В данной работе анализируется разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона в единичном шаре с нелокальным граничным условием. Граничное условие задается в виде соотношения между значени­ем искомой функции и ее нормальной производной в парах диаметрально противоположных точек единич­ной сферы. Получено необходимое и достаточное условие разрешимости, сформулированное в терминах ортогональности заданных данных правой части уравнения и граничной функции. Доказана единствен­ность решения с точностью до добавления константы. Выведено интегральное представление решения с использованием специально построенной функции Грина для нелокальной задачи, которая выражается че­рез функции Грина соответствующих вспомогательных локальных краевых задач. Кроме того, исследуется связанная спектральная задача. Для ее анализа введены две вспомогательные спектральные задачи с гранич­ными условиями Неймана и Робина и подробно описаны их собственные значения и собственные функции. Показано, что данный подход позволяет получить полную ортонормированную систему собственных функ­ций исходной нелокальной задачи, образующую базис в пространстве L₂(Ω).

1. Nakhushev, A.M. Uravneniya matematicheskoy biologii [Equations of Mathematical Biology] (Moscow: Vysshaya shkola, 1995), 301 p. (In Russian).

2. Bitsadze, A.V., and Samarskiy, A.A. O nekotorykh prosteyshikh obobshcheniyakh lineynykh ellipticheskikh kraevykh zadach [On some simplest generalizations of linear elliptic boundary value problems]. Doklady Akademii Nauk SSSR, 185 (4), 739–740 (1969). (In Russian).

3. Aitzhanov, S., Koshanov, B., and Kuntuarova, A. Solvability of Some Elliptic Equations with a Nonlocal Boundary Condition. Mathematics, 12 (24), Article 4010 (2024). https://doi.org/10.3390/math12244010

4. Ashyralyev, A., and Khamad, A. O nelokal'noy kraevoy zadache dlya ellipticheskikh differentsial'nykh uravneniy s usloviyami Samarskogo—Ionkina integral'nogo tipa [On a nonlocal boundary value problem for elliptic differential equations with Samarskii-Ionkin conditions of integral type]. Sovremennye problemy matematiki. Fundamental'nye napravleniya, 71 (1), 1–17 (2025). https://doi.org/10.22363/2413-3639-2025-71-1-1-17 (In Russian).

5. Brahim, H., Abdallah, M., and Ahmad, N. Study of general elliptic problems with nonlocal boundary conditions in the Hölderian framework. Journal of Elliptic and Parabolic Equations (2025). Online first. https://doi.org/10.1007/s41808-025-00427-3

6. Dukenbayeva, A., and Sadybekov, M. On a spectral problem for the Laplace operator with more general boundary conditions. Herald of the Kazakh-British Technical University, 21 (4), 146–152 (2024). https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-4-146-152

7. Gercek, O. Well-posedness of elliptic-parabolic differential problem with integral condition. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 120 (4), 125–133 (2025). https://doi.org/10.31489/2025M4/125-133

8. Zarubin, A.N. Kraevaya zadacha s involyutivnym sdvigom v granichnom uslovii [Boundary value problem with an involutive shift in the boundary condition]. Differentsial'nye uravneniya, 40 (10), 1423–1425 (2004). (In Russian).

9. Sadybekov, M., and Dukenbayeva, A. On boundary value problems of the Samarskii–Ionkin type for the Laplace operator in a ball. Complex Variables and Elliptic Equations, 67 (2), 369–383 (2022). https://doi.org/10.1080/17476933.2020.1828377

10. Karachik, V., and Turmetov, B.K. Solvability of one nonlocal Dirichlet problem for the Poisson equation. Novi Sad Journal of Mathematics, 50 (1), 67–88 (2020). https://doi.org/10.30755/NSJOM.08942

11. Turmetov, B.Kh. Ob odnom obobshchenii zadachi Robena dlya uravneniya Laplasa [On a generalization of the Robin problem for the Laplace equation]. Differentsial'nye uravneniya, 55 (9), 1179– 1187 (2019). https://doi.org/10.1134/S0012266119090027 (In Russian).

12. Betancor, J.J., Sifi, M., and Trimeche, K. Hypercyclic and chaotic convolution operators associated with the Dunkl operator on C. Acta Mathematica Hungarica, 106 (1), 101–116 (2005). https://doi.org/10.1007/s10474-005-0009-1

13. Dunkl, C.F., and Opdam, E.M. Dunkl operators for complex reflection groups. Proceedings of the London Mathematical Society, 86 (1), 70–108 (2003). https://doi.org/10.1112/S0024611502013825

14. Karachik, V., and Turmetov, B. On the solvability of some nonlocal boundary value problems for the biharmonic equation. Mathematica Slovaca, 70 (2), 329–342 (2020). https://doi.org/10.1515/ms-2017-0355