АППРОКСИМАЦИИ ТЕОРИЙ СТРУКТУР С ОДНИМ ОТНОШЕНИЕМ ЭКВИВАЛЕНТНОСТИ

В последнее время бурно развиваются различные методы, схожие к «принципу переноса», когда одно свойство структуры или частей этой структуры выполняется во всех бесконечных структурах или в другой алгебраической структуре. К таким методам относятся гладко аппроксимируемые структуры, голографические структуры, почти надежные теории и псевдоконечных структуры, аппроксимируемые конечными структурами. Псевдоконечные структуры — это математические структуры, которые напоминают конечные структуры, но на самом деле не являются конечными. Они важны в различных областях математики, включая теорию моделей и алгебраическую геометрию. Псевдоконечные структуры — это увлекательная область математической логики, которая устраняет разрыв между конечными и бесконечными структурами. Они позволяют изучать бесконечные структуры способами, напоминающими конечные структуры, и обеспечивают связь с различными другими концепциями теории моделей. Дальнейшее изучение псевдоконечных структур будет продолжать открывать новые идеи и приложения в математике и за ее пределами. Псевдоконечные теории — это раздел математической логики, изучающий структуры, которые в чем-то похожи на конечные структуры, но могут быть бесконечно большими в других отношениях. Это область исследований, которая находится на пересечении теории моделей и теории чисел и имеет дело с бесконечными структурами, которые имеют некоторые общие свойства с конечными структурами, например, имеют только конечное число элементов с точностью до изоморфизма. А. Лахлан ввел понятие гладко аппроксимируемых структур, чтобы изменить направление анализа с конечного на бесконечное, т. е. классифицировать большие конечные структуры, которые кажутся гладкими приближениями к бесконечному пределу. Теория псевдоконечных структур особенно актуальна для изучения отношений эквивалентности. В данной работе исследуется теоретико-модельное свойство теории отношений эквивалентности, в частности, свойство псевдоконечности. Пусть L = {E}, где E – отношение эквивалентности на L-структуре. Доказано, что любая ω-категоричная L-структура M гладко аппроксимируема. Также доказано, что любая бесконечная L-структура M является псевдоконечной.

1. Markhabatov N.D. (2019) Ranks for Families of Permutation Theories, The Bulletin of Irkutsk State University. Series Mathematics, vol. 28, pp.85–94. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.85

2. Markhabatov N.D. (2019) Pseudofiniteness of locally free algebras, Algebra and Model Theory 12, Collection of papers, eds. A.G. Pinus, E.N. Poroshenko, S.V. Sudoplatov. Novosibirsk: NSTU, pp. 41–46.

3. Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. (2019) Ranks and approximations for families of ordered theories, Algebra and Model Theory 12, Collection of papers, eds. A.G. Pinus, E.N. Poroshenko, S.V. Sudoplatov. Novosibirsk: NSTU, pp. 32–40.

4. Pavlyuk I.I. (2020) Approximations for Theories of Abelian Groups, eds. I.I. Pavlyuk, S.V. Sudoplatov, Mathematics and Statistics, vol. 8, no. 2, pp. 220–224. https://doi.org/10.13189/ms.2020.080218

5. Pavlyuk I.I., Sudoplatov S.V. (2019) Ranks for families of theories of abelian groups, The Bulletin of Irkutsk State University, Series Mathematics, vol., 28, pp. 95–112. https://doi.org/10.26516/1997-7670.2019.28.95

6. Markhabatov N.D., Sudoplatov S.V. (2022) Approximations Of Regular Graphs, Herald of the Kazakh-British Technical University, 19:1, pp. 44–49 https://doi.org/10.55452/1998-6688-2022-19-1-44-49

7. Tussupov D.A. (2016) Isomorphisms and Algorithmic Properties of Structures with Two Equivalences, Algebra Logic 55, pp. 50–57. https://doi.org/10.1007/s10469-016-9375-8

8. Ax J. (1968) The Elementary Theory of Finite Fields, Annals of Mathematics, vol. 88, no. 2, Annals of Mathematics, pp. 239–71. https://doi.org/10.2307/1970573

9. Kantor W.M., Liebeck M.W. and Macpherson H.D. (1989) N0-categorical structures smoothly approximated by finite substructures, Proceedings of the London Mathematical Society, vol. 59, pp. 439–463. https://doi.org/10.1112/plms/s3-59.3.439

10. Macpherson D. (1997). Homogeneous and Smoothly Approximated Structures. In: Hart, B.T., Lachlan, A.H., Valeriote, M.A. (eds) Algebraic Model Theory. NATO ASI Series, vol 496. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8923-9_7 ,

11. Cherlin G., and E. Hrushovski (2003) Finite Structures with Few Types, vol. 152, Annals of Mathematics Studies, Princeton University Press, Princeton.

12. Hrushovski E. (1993) Finite Structures with Few Types. In: Sauer N.W., Woodrow R.E., Sands B. (eds) Finite and Infinite Combinatorics in Sets and Logic. NATO ASI Series (Series C: Mathematical and Physical Sciences), vol 411. Springer, Dordrecht. https://doi.org/10.1007/978-94-011-2080-7

13. Markhabatov N.D., Sudoplatov S.V. (2021) Ranks for families of all theories of given languages, Eurasian Math. J., 12:2, pp. 52–58. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2021-12-2-52-58

14. Sudoplatov S.V. (2021) Ranks for families of theories and their spectra~/ S.~V.~Sudoplatov// Lobachevskii J. Math 42, pp. 2959–2968. https://doi.org/10.1134/S1995080221120313

15. Gaifman H. (1964) Concerning measures in first-order calculi, Israel J. Math. 2, pp. 1–18. https://doi.org/10.1007/BF02759729

16. Lynch J. (1980) Almost sure theories, Annals of Mathematical Logic, 18, pp. 91–135. https://doi.org/10.1016/0003-4843(80)90014-5

17. Ax J., Kochen S. (1965) Diophantine problems over local fields I. Amer. J. Math. 87, pp. 605–630. https://doi.org/10.2307/2373065

18. Sudoplatov S.V. (2020) Approximations of theories, Siberian Electronic Mathematical Reports, vol. 17, pp. 715–725. https://doi.org/10.33048/semi.2020.17.049