О РАЗРЕШИМОСТИ ОДНОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПОЛИГАРМОНИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В МНОГОМЕРНОМ ШАРЕ

Необходимость исследования краевых задач для эллиптических уравнений продиктована с многочисленными практическими приложениями при теоретическом изучении процессов гидродинамики, электростатики, механики, теплопроводности, теории упругости, квантовой физики. Например, распределения потенциала электростатического поля описываются с по­мощью уравнения Пуассона, колебания тонких пластин малых прогибов описываются бигармоническими уравнениями. В данной работе исследуется разрешимость одной краевой задачи для полигармонического уравнения в единичном шаре. В этой задаче последовательно задаются нормальные произ­водные искомой функции, начиная с первой нормальной производной до производной по­рядка (m 1), а в качестве последнего условия дополнительно задается производная поряд­ка (m + 1). Для решения данной задачи исходная задача с помощью специального интегродифференциального оператора сводится к задаче Неймана. Затем задача Неймана с помощью интегро-дифференциального оператора сводится к задаче Дирихле. Используется тот факт, что решение задачи Дирихле представляется с помощью функции Грина и формулы Альманси. В результате этих представлений получено необходимое и достаточное условие разрешимости исходной задачи.

1. Boggio T. Sulle funzioni di Green d'ordine m //Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97--135.

2. Begerh H., Vu TN.H., Zhang Z.X. Polyharmonic Dirichlet Problems //Proceedings of the Steklov Institute of Math. 2006. V. 255. P. 13--34.

3. Kal'menov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex variables and Elliptic equations. -- 2008. -- V. 53, №2. -- P. 177--183. http://dx.doi.org/10.1080/17476930701671726

4. Kal’menov T.S., Suragan D. On a new method for constructing the green function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation. Differ. Equ. 48(3), 441--445 (2012)

5. Koshanov B.D. Green's functions and correct restrictions of the polyharmonic operator //Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science. 2021. V. 109(1). P. 34--54. https://doi.org/10.26577/JMMCS.2021.v109.i1.03

6. Sadybekov M.A., Torebek B.T. and Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle, Adv. Pure Appl. Math. 6 (2015), 163--172.

7. Karachik V.V. Construction of Polynomial Solutions to the Dirichlet Problem for the Polyharmonic Equation in a Ball //Comp. Math. and Math. Physics. 2014. V. 54. P. 1122--1143.

8. Karachik V. Green's functions of some boundary value problems for the biharmonic equation //Complex Var. and Elliptic Eq. 2022. V. 67. P. 1712--1736.

9. Karachik V., Turmetov B., Yuan H. Four Boundary Value Problems for a Nonlocal Biharmonic Equation in the Unit Ball //Mathematics. 2022. 10. 1158.

10. Karachik V.V., Torebek B.T. On the Dirichlet-Riquier problem for biharmonic equations //Math. Notes. 2017. V. 102. P. 31--42.

11. Karachik V.V. Dirichlet and Neumann boundary value problems for the polyharmonic equation in the unit ball //Mathematics. 2021. 9. 1907.

12. Karachik V.V. Green's Functions of the Navier and Riquier-Neumann Problems for the Biharmonic Equation in the Ball //Differential Eq. 2021. V. 57. P. 654--668.

13. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic //Complex Var. And Elliptic Eq. 2009. V. 54. P. 79--93.

14. Karachik V. Riquier-Neumann Problem for the Polyharmonic Equation in a Ball //Mathematics. 2023; 11: 1000.

15. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле-2 для 3-гармонического уравнения в шаре // Сибирские электронные математические известия, 2023, Т.20, 2, С. 144--167.

16. Karachik V. Green's Functions of one problem for the 3-harmonic equation in a ball //Complex Var. And Elliptic Eq. 2025, 1--24.

17. Koshanov B., Shynybayeva N., Koshanova M., Oralbekova, N. On the solvability of boundary value problems with general conditions for the triharmonic equation in a ball. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 2025. 126(2). P. 49--58. https://doi.org/10.26577/JMMCS2025126204

18. Кангужин Б.Е., Кошанов Б.Д. Необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для полигармонического уравнения //Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2(2). С. 41--52. http://mi.mathnet.ru/rus/ufa50

19. Koshanov B.D. About solvability of boundary value problems for the nonhomogeneous polyharmonic equation in a ball //Journal Advances in Pure and Applied Math. 2013. V. 4(4). P. 351--373. https://doi.org/10.26577/JMMCS2025126204

20. Vladimirov V.C: Equations of Mathematical Physics. Nauka, Moscow (1974) (in Russian)

21. Karachik V.V., Turmetov B.K., Bekayeva A.E. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball. Int. J. Pure Appl. Math. 81(3), 487--495 (2012)

22. Turmetov B.K., Ashurov R.R. On solvability of the Neumann boundary value problem for a nonhomogeneous polyharmonic equation in a ball. Boundary Value Problems. 2013. 162 (1) https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-162

23. Torebek B.T., Turmetov B.K. On solvability of a boundary value problem for the Poisson equation with the boundary operator of a fractional order. Bound. Value Probl. (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-93

24. Bavrin I.I. Operators for harmonic functions and their applications. Differ. Uravn. 21(1), 9--15 (1985) (in Russian); English transl.: Differ. Equ. 21(1), 6--10 (1985)

25. Agmon S., Douglas A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II. Commun. Pure Appl. Math. 17, 35- -92 (1964)

26. Bitsadze A.V. Boundary Value Problems for Second Order Elliptic Equations. North-Holland, Amsterdam (1968)