КӨПӨЛШЕМДІ ШАРДА ПОЛИГАРМОНИКАЛЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН БІР ШЕТТІК ЕСЕПТІҢ ШЕШІМДІЛІГІ ТУРАЛЫ

Эллиптикалық теңдеулер үшін шеттік есептерді зерттеу қажеттілігі гидродинамика, электростатика, механика, жылуөткізгіштік, серпімділік теориясы және кванттық физика процестерін теориялық тұрғыдан зерттеудегі көптеген практикалық қолданылуларымен негізделеді. Мысалы, электростатикалық өріс потенциалының таралуы Пуассон теңдеуі арқылы сипатталады, ал аз иілетін жұқа пластиналардың тербелістері бигармоникалық теңдеулер арқылы сипатталады. Бұл жұмыста бірлік шарда полигармоникалық теңдеу үшін бір шеттік есептің, яғни ізделінді функцияның бірінші нормал туындысынан бастап 𝑚𝑚 − 1- ші ретті туындысына дейін қатар берілсе және соңғысына 𝑚𝑚 + 1-ші ретті туындысы берілген есеп шешімділікке зерттеледі. Осы есепті шешу үшін бастапқы есепті арнайы интегралды-дифференциалды оператордың көмегімен Нейман есебіне алып келеміз. Ал Нейман есебін интегралды-дифференциалды оператордың көмегімен Дирихле есебіне алып келеміз. Дирихле есебінің шешімі Грин функциясының көмегімен және Альманси өрнегімен өрнектелетіндігін қолданамыз. Осы өрнектердің нәтижесінде бастапқы есептің шешімділігінің қажетті және жеткілікті шарты табылады.

1. Boggio T. Sulle funzioni di Green d'ordine m //Palermo Rend. 1905. V. 20. P. 97--135.

2. Begerh H., Vu TN.H., Zhang Z.X. Polyharmonic Dirichlet Problems //Proceedings of the Steklov Institute of Math. 2006. V. 255. P. 13--34.

3. Kal'menov T.Sh., Koshanov B.D., Nemchenko M.Y. Green function representation for the Dirichlet problem of the polyharmonic equation in a sphere // Complex variables and Elliptic equations. -- 2008. -- V. 53, №2. -- P. 177--183. http://dx.doi.org/10.1080/17476930701671726

4. Kal’menov T.S., Suragan D. On a new method for constructing the green function of the Dirichlet problem for the polyharmonic equation. Differ. Equ. 48(3), 441--445 (2012)

5. Koshanov B.D. Green's functions and correct restrictions of the polyharmonic operator //Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science. 2021. V. 109(1). P. 34--54. https://doi.org/10.26577/JMMCS.2021.v109.i1.03

6. Sadybekov M.A., Torebek B.T. and Turmetov B.Kh. On an explicit form of the Green function of the Robin problem for the Laplace operator in a circle, Adv. Pure Appl. Math. 6 (2015), 163--172.

7. Karachik V.V. Construction of Polynomial Solutions to the Dirichlet Problem for the Polyharmonic Equation in a Ball //Comp. Math. and Math. Physics. 2014. V. 54. P. 1122--1143.

8. Karachik V. Green's functions of some boundary value problems for the biharmonic equation //Complex Var. and Elliptic Eq. 2022. V. 67. P. 1712--1736.

9. Karachik V., Turmetov B., Yuan H. Four Boundary Value Problems for a Nonlocal Biharmonic Equation in the Unit Ball //Mathematics. 2022. 10. 1158.

10. Karachik V.V., Torebek B.T. On the Dirichlet-Riquier problem for biharmonic equations //Math. Notes. 2017. V. 102. P. 31--42.

11. Karachik V.V. Dirichlet and Neumann boundary value problems for the polyharmonic equation in the unit ball //Mathematics. 2021. 9. 1907.

12. Karachik V.V. Green's Functions of the Navier and Riquier-Neumann Problems for the Biharmonic Equation in the Ball //Differential Eq. 2021. V. 57. P. 654--668.

13. Sweers G. A survey on boundary conditions for the biharmonic //Complex Var. And Elliptic Eq. 2009. V. 54. P. 79--93.

14. Karachik V. Riquier-Neumann Problem for the Polyharmonic Equation in a Ball //Mathematics. 2023; 11: 1000.

15. Карачик В.В. Функция Грина задачи Дирихле-2 для 3-гармонического уравнения в шаре // Сибирские электронные математические известия, 2023, Т.20, 2, С. 144--167.

16. Karachik V. Green's Functions of one problem for the 3-harmonic equation in a ball //Complex Var. And Elliptic Eq. 2025, 1--24.

17. Koshanov B., Shynybayeva N., Koshanova M., Oralbekova, N. On the solvability of boundary value problems with general conditions for the triharmonic equation in a ball. Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, 2025. 126(2). P. 49--58. https://doi.org/10.26577/JMMCS2025126204

18. Кангужин Б.Е., Кошанов Б.Д. Необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач для полигармонического уравнения //Уфимский математический журнал. 2010. Т. 2(2). С. 41--52. http://mi.mathnet.ru/rus/ufa50

19. Koshanov B.D. About solvability of boundary value problems for the nonhomogeneous polyharmonic equation in a ball //Journal Advances in Pure and Applied Math. 2013. V. 4(4). P. 351--373. https://doi.org/10.26577/JMMCS2025126204

20. Vladimirov V.C: Equations of Mathematical Physics. Nauka, Moscow (1974) (in Russian)

21. Karachik V.V., Turmetov B.K., Bekayeva A.E. Solvability conditions of the Neumann boundary value problem for the biharmonic equation in the unit ball. Int. J. Pure Appl. Math. 81(3), 487--495 (2012)

22. Turmetov B.K., Ashurov R.R. On solvability of the Neumann boundary value problem for a nonhomogeneous polyharmonic equation in a ball. Boundary Value Problems. 2013. 162 (1) https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-162

23. Torebek B.T., Turmetov B.K. On solvability of a boundary value problem for the Poisson equation with the boundary operator of a fractional order. Bound. Value Probl. (2013). https://doi.org/10.1186/1687-2770-2013-93

24. Bavrin I.I. Operators for harmonic functions and their applications. Differ. Uravn. 21(1), 9--15 (1985) (in Russian); English transl.: Differ. Equ. 21(1), 6--10 (1985)

25. Agmon S., Douglas A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic partial differential equations satisfying general boundary conditions II. Commun. Pure Appl. Math. 17, 35- -92 (1964)

26. Bitsadze A.V. Boundary Value Problems for Second Order Elliptic Equations. North-Holland, Amsterdam (1968)