PhD, ассистент-профессор
Алматы
PhD, Assistant Professor
Almaty
Д.ф.-м.н., ведущий научный сотрудник, и.о. профессора
Алматы
Dr.Phys.-Math.Sc., Leading Researcher, Acting Professor
Almaty
К.ф.-м.н., ассоцированный профессор
Алматы, Актобе
Cand.Phys.-Math.Sc., Associate Professor
Aktobe
Сеньор-лектор
Алматы
Senior lecturer
Almaty
В настоящей работе исследуется краевая задача, относящаяся к семейству линейных дифференциальных уравнений с нелинейными двухточечными краевыми условиями. При каждом фиксированном значении параметра семейства исходная задача преобразуется в нелинейную двухточечную краевую задачу для обыкновенных дифференциальных уравнений. Поскольку такие задачи связаны с нелокальными краевыми задачами, в том числе с системами гиперболических уравнений, определение условий их разрешимости является актуальной задачей. В работе применяется метод параметризации Д.С. Джумабаева, основанный на сведении задачи к системе нелинейных алгебраических уравнений по параметру и решении начальной задачи для дифференциального уравнения, зависящего от параметра. Для решения используется итерационный метод, при этом обосновываются условия сходимости. Предложенный метод основан на сочетании численного решения задач Коши и решения системы нелинейных уравнений. Полученный алгоритм решения проверяется на конкретных тестовых примерах, что демонстрирует его эффективность. В частности, установлено, что решение соответствующей системы при заданном значении параметра сходится в процессе итераций. Рассматриваемый метод является эффективным методом определения решений краевых задач для семейства линейных дифференциальных уравнений, характеризующихся нелинейными двухточечными краевыми условиями. Практическая эффективность предложенного метода подтверждается результатами численного решения конкретных задач.
This paper investigates a boundary value problem belonging to a family of linear differential equations with nonlinear two-point boundary conditions. For each fixed v alue of t he f amily p arameter, t he original problem is transformed into a nonlinear two-point boundary value problem for ordinary differential equations. Since such problems are associated with nonlocal boundary value problems, including systems of hyperbolic equations, determining the conditions for their solvability is of considerable interest. The study employs the parameterization method developed by D.S. Dzhumabayev, which is based on reducing the problem to a system of nonlinear algebraic equations with respect to the parameter and solving an initial value problem for a parameter-dependent differential equation. An iterative method is used for the solution process, and the conditions ensuring its convergence are established. The proposed approach combines the numerical solution of Cauchy problems with the solution of a system of nonlinear equations. The developed algorithm is tested on specific benchmark examples, demonstrating its effectiveness. In particular, it is shown that the solution of the corresponding system converges through the iterative process for a given parameter value. The considered approach provides an efficient method for determining solutions of boundary value problems for families of linear differential equations characterized by nonlinear two-point boundary conditions. The practical efficiency of the proposed method is confirmed by the results of numerical solutions of specific problems.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.