ПРИМЕНЕНИЕ ФИЗИКО-ОРИЕНТИРОВАННЫХ НЕЙРОННЫХ СЕТЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ С НЕОДНОРОДНЫМИ СМЕШАННЫМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

В работе рассматривается применение Physics-Informed Neural Networks (PINN) для решения двумер­ного уравнения Пуассона с неоднородными смешанными граничными условиями. Метод PINN объединяет нейросетевые аппроксимации и физические законы, включая невязку уравнения и ошибки на границе в единую функцию потерь. Модель реализована в среде PyTorch и обучалась на выборке, сгенерированной ме­тодом латинской гиперкубической выборки. Для проверки точности проведено сравнение с аналитическим решением, а также с традиционными численными методами. Систематически исследовано влияние ключе­вых гиперпараметров: числа обучающих точек, весов в функции потерь, архитектуры сети и шага обучения. Установлено, что увеличение веса на граничные условия улучшает сходимость и точность, а оптимальные архитектуры с 4-5 скрытыми слоями и 64 нейронами обеспечивают относительную ошибку менее 0.1-0.2%. В отличие от численных схем, требующих сеточной дискретизации, PINN продемонстрировал универсаль­ность и высокую точность при работе с разреженными данными и сложными условиями, что делает его пер­спективным инструментом для задач вычислительной математики и моделирования физических процессов в условиях сложной геометрии и неполной информации.

1. Raissi, M., Perdikaris, P., Karniadakis, G.E.: Physics-informed neural networks: A deep learning frame work for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations. J. Comput. Phys. 378, 686–707 (2019). https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045

2. Lagaris, I., Likas, A., Fotiadis, D.: Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations. IEEE Trans. Neural Networks 9(5), 987–1000 (1998). https://doi.org/10.1109/72.712178

3. Dissanayake, M.W.M.G., Phan-Thien, N.: Neural-network-based approximations for solving partial differential equations. Commun. Numer. Methods Eng. 10(3), 195–201 (1994). https://doi.org/10.1002/cnm.1640100303

4. Hornik, K., Stinchcombe, M., White, H.: Multilayer feedforward networks are universal approxima tors. Neural Networks 2(5), 359–366 (1989). https://doi.org/10.1016/0893-6080(89)90020-8

5. Lee, H., Kang, I.S.: Neural algorithm for solving differential equations. J. Comput. Phys. 91(1), 110 131 (1990). https://doi.org/10.1016/0021-9991(90)90007-N

6. Psichogios, D.C., Ungar, L.H.: A hybrid neural network-first principles approach to process modeling. AIChEJ.38(10),1499–1511(1992). https://doi.org/10.1002/aic.690381003

7. Haghighat,E.,Juanes,R.:SciANN:AKeras/Tensorflow wrapper for scientific computations and physicsinformed deep learning using artificial neural networks. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 373, 113,552 (2021). https://doi.org/10.1016/j.cma.2020.113552

8. Paszke,A.,Gross,S.,Chintala, S., et al.: Automatic differentiation in PyTorch. Tech. rep., (2017) https://openreview.net/forum?id=BJJsrmfCZ

9. Raissi,M.,Yazdani,A.,Karniadakis,G.E.:Hidden fluid mechanics: Learning velocity and pressure fields from flow visualizations. Sci. 367(6481), 1026–1030 (2020). https://doi.org/10.1126/science.aaw4741

10. Haghighat, E., Raissi, M., Moure, A., et al.: A physics-informed deep learning framework for inversion and surrogate modeling in solid mechanics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 379, 113,741 (2021b). https://doi.org/10.1016/j.cma.2021.113741

11. Wu, C., Zhu, M., Tan, Q., Kartha, Y. and Lu, L., A Comprehensive Study of Non-Adaptive and Residual-Based Adaptive Sampling for Physics-Informed Neural Networks, Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 403, p. 115671, October 22, 2022. https://doi.org/10.1016/j.cma.2022.115671

12. Mishra, S., Molinaro, R.: Estimates on the generalization error of physics-informed neural networks for approximating a class of inverse problems for PDEs. IMA J. Numer. Anal. (2021). https://doi.org/10.1093/imanum/drab032

13. Rao, C., Sun, H., & Liu, Y. (2020). Physics-informed deep learning for incompressible laminar flows. Theoretical and Applied Mechanics Letters, 10(3), 207–212. https://doi.org/10.1016/j.taml.2020.01.039

14. Wang, R., Kashinath, K., Mustafa, M., Albert, A., & Yu, R. (2019). Towards Physics-informed Deep Learning for Turbulent Flow Prediction. ArXiv.org. https://arxiv.org/abs/1911.08655

15. Yang, X. I. A., Zafar, S., Wang, J.-X. ., & Xiao, H. (2019). Predictive large-eddy-simulation wall modeling via physics-informed neural networks. Physical Review Fluids, 4(3). https://doi.org/10.1103/physrevfluids.4.034602

16. Kissas, G., Yang, Y., Hwuang, E., Witschey, W. R., Detre, J. A., & Perdikaris, P. (2020). Machine learning in cardiovascular flows modeling: Predicting arterial blood pressure from non-invasive 4D flow MRI data using physics-informed neural networks. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 358, 112623. https://doi.org/10.1016/j.cma.2019.112623

17. Arzani, A., Wang, J.-X., & D’Souza, R. M. (2021). Uncovering near-wall blood flow from sparse data with physics-informed neural networks. Physics of Fluids, 33(7), 071905. https://doi.org/10.1063/5.0055600

18. Sahli Costabal, F., Yang, Y., Perdikaris, P., Hurtado, D. E., & Kuhl, E. (2020). Physics-Informed Neural Networks for Cardiac Activation Mapping. Frontiers in Physics, 8. https://doi.org/10.3389/fphy.2020.00042

19. Rasht‐Behesht, M., Huber, C., Shukla, K., & Karniadakis, G. E. (2022). Physics‐Informed Neural Networks (PINNs) for Wave Propagation and Full Waveform Inversions. Journal of Geophysical Research: Solid Earth, 127(5). https://doi.org/10.1029/2021jb023120

20. Almajid, M. M., & Abu-Al-Saud, M. O. (2022). Prediction of porous media fluid flow using physics informed neural networks. Journal of Petroleum Science and Engineering, 208, 109205. https://doi.org/10.1016/j.petrol.2021.109205

21. Cai, S., Wang, Z., Wang, S., Perdikaris, P., & Karniadakis, G. (2021). Physics-Informed Neural Networks (PINNs) for Heat Transfer Problems. Journal of Heat Transfer. https://doi.org/10.1115/1.4050542

22. Zobeiry, N., & Humfeld, K. D. (2021). A physics-informed machine learning approach for solving heat transfer equation in advanced manufacturing and engineering applications. Engineering Applications of Artificial Intelligence, 101, 104232. https://doi.org/10.1016/j.engappai.2021.104232

23. Chen, Y., Lu, L., Karniadakis, G. E., & Dal Negro, L. (2020). Physics-informed neural networks for inverse problems in nano-optics and metamaterials. Optics Express, 28(8), 11618. https://doi.org/10.1364/oe.384875

24. De Ryck, T., Lanthaler, S., & Mishra, S. (2021). On the approximation of functions by tanh neural networks. Neural Networks, 143, 732–750. https://doi.org/10.1016/j.neunet.2021.08.015

25. Liu, X., Zhang, X., Peng, W., Zhou, W., & Yao, W. (2022). A novel meta-learning initialization method for physics-informed neural networks. Neural Computing and Applications, 34(17), 14511–14534. https://doi.org/10.1007/s00521-022-07294-2

26. Gao, H., Sun, L., & Wang, J.-X. (2021). PhyGeoNet: Physics-informed geometry-adaptive convolutional neural networks for solving parameterized steady-state PDEs on irregular domain. Journal of Computational Physics, 428, 110079. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2020.110079

27. Yu, J., Lu, L., Meng, X., & Karniadakis, G. E. (2022). Gradient-enhanced physics-informed neural networks for forward and inverse PDE problems. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 393, 114823. https://doi.org/10.1016/j.cma.2022.114823