ПОЛИНОМЫ ЛИ В СВОБОДНЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТОРТКЕН-АЛГЕБРАХ

В данной работе изучаются элементы Ли и симметрические элементы (Tortken) в свободной алгебре Новикова, а также исследуется вопрос о том, может ли ненулевой мультилинейный элемент одновременно принадлежать обоим классам. Для проверки принадлежности симметрическому подпространству элементов, представленных в стандартном мультилинейном базисе Ли, используются оператор Эйлера и критерий нулевого лагранжиана. Для части Ли применяются левонормированные коммутаторы с фиксированной первой переменной, образующие удобный базис мультилинейной компоненты. Случай рассматривается явно путем разложения коммутаторов через произведение Новикова и применения оператора Эйлера. Для степеней соответствующие линейные системы строятся и решаются вычислительно в Wolfram Mathematica и Albert. Вычисления показывают, что пересечение мультилинейного подпространства Ли с подпространством симметрических элементов тривиально для всех . Таким образом, до степени 7 в свободной алгебре Новикова не существует ненулевого мультилинейного элемента, который был бы одновременно элементом Ли и симметрическим элементом. Эти результаты служат отправной точкой для дальнейшего изучения данной задачи в более высоких степенях.

1. Albert, A. Version 4.0M6. URL: https://web.osu.cz/~Zusmanovich/soft/albert/ (accessed 2026).

2. Balinskii, A.A., and Novikov, S.P. Poisson brackets of hydrodynamic type, Frobenius algebras and Lie algebras. Soviet Mathematics Doklady, 32, 228–231 (1985). https://web.archive.org/web/https://homepage. mi-ras.ru/~snovikov/95.pdf

3. Gel’fand, I.M., and Dorfman, I.Ya. Hamiltonian operators and algebraic structures related to them. Functional Analysis and Its Applications, 13 (4), 248–262 (1979). https://doi.org/10.1007/BF01078363

4. Burde, D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics. Central European Journal of Mathematics, 4 (3), 323–357 (2006). https://doi.org/10.2478/s11533-006-0014-9

5. Dzhumadil’daev, A., and Löfwall, C. Trees, free right-symmetric algebras, free Novikov algebras and identities. Homology, Homotopy and Applications, 4 (2), 165–190 (2002). http://eudml.org/doc/50501

6. Dzhumadil’daev, A.S. Novikov-Jordan algebras. Communications in Algebra, 30 (11), 5205–5240 (2002). https://doi.org/10.1081/AGB-120015649

7. Dzhumadil’daev, A.S. Special identity for Novikov-Jordan algebras. Communications in Algebra, 33 (5), 1279–1287 (2005). https://doi.org/10.1081/AGB-200060504

8. Dzhumadil’daev, A.S., and Ismailov, N.A. Polynomial identities of bicommutative algebras, Lie and Jordan elements. Communications in Algebra, 46 (12), 5242–5252 (2018). https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1461890

9. Dzhumadil’daev, A.S., and Ismailov, N.A. Null Lagrangians in free Novikov algebras. arXiv preprint (2026). https://arxiv.org/abs/2601.11168

10. Jacobson, N. Structure and Representations of Jordan Algebras (Providence, RI: American Mathematical Society, 1968). https://bookstore.ams.org/COLL/39

11. Molev, A.I. On the algebraic structure of the Lie algebra of vector fields on the line. Mathematics of the USSR-Sbornik, 62 (1), 83–94 (1989). https://www.mathnet.ru/eng/sm2650

12. Olver, P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations (2nd ed.) (New York: Springer, 1993). https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-4350-2

13. Reutenauer, C. Free Lie Algebras (Oxford: Oxford University Press, 1993). https://global.oup.com/academic/product/free-lie-algebras-9780198536796