kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2026-23-2-75-82kaz29-2888Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESПОЛИНОМЫ ЛИ В СВОБОДНЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ ТОРТКЕН-АЛГЕБРАХLIE POLYNOMIALS IN FREE SPECIAL TORTKEN ALGEBRAShttps://orcid.org/0009-0007-0952-706XЕрсалиеваА.YersaliyevaA.

Магистрант.

Каскелен

Master's student.

Kaskelen

airisays@gmail.comSDU UniversityКазахстанSDU UniversityKazakhstan2026270620262327582Copyright © Ерсалиева А., 20262026Ерсалиева А.Yersaliyeva A.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/2888

В данной работе изучаются элементы Ли и симметрические элементы (Tortken) в свободной алгебре Новикова, а также исследуется вопрос о том, может ли ненулевой мультилинейный элемент одновременно принадлежать обоим классам. Для проверки принадлежности симметрическому подпространству элементов, представленных в стандартном мультилинейном базисе Ли, используются оператор Эйлера и критерий нулевого лагранжиана. Для части Ли применяются левонормированные коммутаторы с фиксированной первой переменной, образующие удобный базис мультилинейной компоненты. Случай рассматривается явно путем разложения коммутаторов через произведение Новикова и применения оператора Эйлера. Для степеней соответствующие линейные системы строятся и решаются вычислительно в Wolfram Mathematica и Albert. Вычисления показывают, что пересечение мультилинейного подпространства Ли с подпространством симметрических элементов тривиально для всех . Таким образом, до степени 7 в свободной алгебре Новикова не существует ненулевого мультилинейного элемента, который был бы одновременно элементом Ли и симметрическим элементом. Эти результаты служат отправной точкой для дальнейшего изучения данной задачи в более высоких степенях.

This paper studies Lie elements and symmetric (Tortken) elements in a free Novikov algebra and examines whether a nonzero multilinear element can belong to both classes simultaneously. We use the Euler operator and the null Lagrangian criterion to test membership in the symmetric subspace for elements represented in the standard multilinear Lie basis. For the Lie component, we employ left-normed commutators with a fixed first variable, which form a convenient basis of the multilinear part. The case is worked out explicitly by expanding the commutators in the Novikov product and applying the Euler operator. For degrees , the corresponding linear systems are obtained and solved computationally in Wolfram Mathematica and Albert. The computations show that the intersection of the multilinear Lie subspace with the subspace of symmetric elements is trivial for all . Thus, up to degree 7 there is no nonzero multilinear element in a free Novikov algebra that is simultaneously Lie and symmetric. These results provide a starting point for studying the problem in higher degrees.

Лиевы полиномысвободные специальные алгебры ТорткенаЛиевы элементысвободные алгебры Новиковамультилинейные Лиевы элементыоператор Эйлерасимметрические элементыLie polynomialsfree special Tortken algebrasLie elementsfree Novikov algebrasmultilinear Lie elementsEuler operatorsymmetric elementsThe author expresses her gratitude to her scientific supervisor, professor Nurlan Ismailov, for his guidance, helpful discussions, and support provided during the preparation of this workReferencesAlbert, A. Version 4.0M6. URL: https://web.osu.cz/~Zusmanovich/soft/albert/ (accessed 2026).Albert, A. Version 4.0M6. URL: https://web.osu.cz/~Zusmanovich/soft/albert/ (accessed 2026).Balinskii, A.A., and Novikov, S.P. Poisson brackets of hydrodynamic type, Frobenius algebras and Lie algebras. Soviet Mathematics Doklady, 32, 228–231 (1985). https://web.archive.org/web/https://homepage. mi-ras.ru/~snovikov/95.pdfBalinskii, A.A., and Novikov, S.P. Poisson brackets of hydrodynamic type, Frobenius algebras and Lie algebras. Soviet Mathematics Doklady, 32, 228–231 (1985). https://web.archive.org/web/https://homepage. mi-ras.ru/~snovikov/95.pdfGel’fand, I.M., and Dorfman, I.Ya. Hamiltonian operators and algebraic structures related to them. Functional Analysis and Its Applications, 13 (4), 248–262 (1979). https://doi.org/10.1007/BF01078363Gel’fand, I.M., and Dorfman, I.Ya. Hamiltonian operators and algebraic structures related to them. Functional Analysis and Its Applications, 13 (4), 248–262 (1979). https://doi.org/10.1007/BF01078363Burde, D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics. Central European Journal of Mathematics, 4 (3), 323–357 (2006). https://doi.org/10.2478/s11533-006-0014-9Burde, D. Left-symmetric algebras, or pre-Lie algebras in geometry and physics. Central European Journal of Mathematics, 4 (3), 323–357 (2006). https://doi.org/10.2478/s11533-006-0014-9Dzhumadil’daev, A., and Löfwall, C. Trees, free right-symmetric algebras, free Novikov algebras and identities. Homology, Homotopy and Applications, 4 (2), 165–190 (2002). http://eudml.org/doc/50501Dzhumadil’daev, A., and Löfwall, C. Trees, free right-symmetric algebras, free Novikov algebras and identities. Homology, Homotopy and Applications, 4 (2), 165–190 (2002). http://eudml.org/doc/50501Dzhumadil’daev, A.S. Novikov-Jordan algebras. Communications in Algebra, 30 (11), 5205–5240 (2002). https://doi.org/10.1081/AGB-120015649Dzhumadil’daev, A.S. Novikov-Jordan algebras. Communications in Algebra, 30 (11), 5205–5240 (2002). https://doi.org/10.1081/AGB-120015649Dzhumadil’daev, A.S. Special identity for Novikov-Jordan algebras. Communications in Algebra, 33 (5), 1279–1287 (2005). https://doi.org/10.1081/AGB-200060504Dzhumadil’daev, A.S. Special identity for Novikov-Jordan algebras. Communications in Algebra, 33 (5), 1279–1287 (2005). https://doi.org/10.1081/AGB-200060504Dzhumadil’daev, A.S., and Ismailov, N.A. Polynomial identities of bicommutative algebras, Lie and Jordan elements. Communications in Algebra, 46 (12), 5242–5252 (2018). https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1461890Dzhumadil’daev, A.S., and Ismailov, N.A. Polynomial identities of bicommutative algebras, Lie and Jordan elements. Communications in Algebra, 46 (12), 5242–5252 (2018). https://doi.org/10.1080/00927872.2018.1461890Dzhumadil’daev, A.S., and Ismailov, N.A. Null Lagrangians in free Novikov algebras. arXiv preprint (2026). https://arxiv.org/abs/2601.11168Dzhumadil’daev, A.S., and Ismailov, N.A. Null Lagrangians in free Novikov algebras. arXiv preprint (2026). https://arxiv.org/abs/2601.11168Jacobson, N. Structure and Representations of Jordan Algebras (Providence, RI: American Mathematical Society, 1968). https://bookstore.ams.org/COLL/39Jacobson, N. Structure and Representations of Jordan Algebras (Providence, RI: American Mathematical Society, 1968). https://bookstore.ams.org/COLL/39Molev, A.I. On the algebraic structure of the Lie algebra of vector fields on the line. Mathematics of the USSR-Sbornik, 62 (1), 83–94 (1989). https://www.mathnet.ru/eng/sm2650Molev, A.I. On the algebraic structure of the Lie algebra of vector fields on the line. Mathematics of the USSR-Sbornik, 62 (1), 83–94 (1989). https://www.mathnet.ru/eng/sm2650Olver, P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations (2nd ed.) (New York: Springer, 1993). https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-4350-2Olver, P.J. Applications of Lie Groups to Differential Equations (2nd ed.) (New York: Springer, 1993). https://link.springer.com/book/10.1007/978-1-4612-4350-2Reutenauer, C. Free Lie Algebras (Oxford: Oxford University Press, 1993). https://global.oup.com/academic/product/free-lie-algebras-9780198536796Reutenauer, C. Free Lie Algebras (Oxford: Oxford University Press, 1993). https://global.oup.com/academic/product/free-lie-algebras-9780198536796

The authors declare that there are no conflicts of interest present.