О РЕШЕНИИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИМПУЛЬСНОГО ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С КУСОЧНО-ПОСТОЯННЫМ АРГУМЕНТОМ

В данной статье рассматривается краевая задача для импульсного гиперболического уравнения с кусочно-постоянным аргументом. Импульсные гиперболические уравнения с кусочно-постоянным аргументом возникают как математические модели физических процессов в нейронных сетях, непрерывных динамических системах, гибридных системах и других областях. Вопросы существования краевых задач и построения их решений для таких уравнений в настоящее время остаются одними из актуальных проблем. Для получения условий разрешимости данной задачи используется метод параметризации Джумабаева, а также в работе разработан итерационный алгоритм нахождения приближенного решения. Для каждого шага итерационного процесса получены интегральные формулы, выражаемые через матрицу Q(x), описывающую связь между функциональными параметрами. Если данная матрица является обратимой, то доказывается существование и единственность решения как для параметрической, так и для исходной задачи. Предложенный метод не ограничивается лишь доказательством теоретической разрешимости задачи, а предлагает конкретную конструктивную процедуру нахождения решения. Это имеет важное значение для последующих численных реализаций и анализа устойчивости решений. Кроме того, предложенный подход может быть применен к другим типам задач с кусочно-постоянным аргументом, включая системы с импульсными условиями, нейронные сети с эффектом памяти и нелинейные гибридные модели.

1. Wiener, J. Generalized Solutions of Functional Differential Equations (Singapore: World Scientific, 1993).

2. Samoilenko, A.M., and Perestyuk, N.A. Impulsive Differential Equations (Singapore: World Scientific, 1995).

3. Imanchiyev, A.E., Assanova, A.T., and Molybaikyzy, A. Properties of a nonlocal problem for hyperbolic equations with impulse discrete memory. Lobachevskii Journal of Mathematics, 44 (10), 4299–4309 (2023). https://doi.org/10.1134/S1995080223100177

4. Dzhumabayev, D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation. U.S.S.R. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 29 (1), 34–46 (1989).

5. Assanova, A.T. Hyperbolic equation with piecewise-constant argument of generalized type and solving boundary value problems for it. Lobachevskii Journal of Mathematics, 42, 3584–3593 (2021).

6. Assanova, A.T., and Molybaikyzy, A. Solution to the periodic problem for the impulsive hyperbolic equation with discrete memory. Kazakh Mathematical Journal, 25 (1), 16–27 (2025).

7. Akhmet, M.U. Integral manifolds of differential equations with piecewise constant argument of generalized type. Nonlinear Analysis, 66 (3), 367–383 (2007). https://doi.org/10.1016/j.na.2005.11.032

8. Akhmet, M.U. Almost periodic solutions of differential equations with piecewise constant argument of generalized type. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 336 (4), 646–663 (2007). https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2007.03.010

9. Nieto, J.J., and Rodriguez-Lopez, R. Green’s function for second order periodic BVPs with piecewise constant argument. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 304 (1), 33–57 (2005). https://doi.org/10.1016/j.jmaa.2004.09.023

10. Aviltay, N., Akhmet, T., and Zhamanshin, A. Asymptotic solutions of differential equations with singular impulses. Carpathian Journal of Mathematics, 40 (3), 581–598 (2024).