Научный сотрудник, ст. Преподаватель.
Алматы
Researcher, Senior Lecturer.
Almaty
К. ф.-м.н., главный научный сотрудник.
Алматы
Cand.Phys.Math.Sc., Chief Researcher.
Almaty
к. ф.-м.н., главный научный сотрудник.
Алматы
Cand.Phys.Math.Sc., Chief Researcher.
Almaty
к. ф.-м.н., научный сотрудник, ст. преподаватель.
Алматы
Cand.Phys.Math.Sc., Researcher, Senior Lecturer.
Almaty
В данной статье рассматривается краевая задача для импульсного гиперболического уравнения с кусочно-постоянным аргументом. Импульсные гиперболические уравнения с кусочно-постоянным аргументом возникают как математические модели физических процессов в нейронных сетях, непрерывных динамических системах, гибридных системах и других областях. Вопросы существования краевых задач и построения их решений для таких уравнений в настоящее время остаются одними из актуальных проблем. Для получения условий разрешимости данной задачи используется метод параметризации Джумабаева, а также в работе разработан итерационный алгоритм нахождения приближенного решения. Для каждого шага итерационного процесса получены интегральные формулы, выражаемые через матрицу Q(x), описывающую связь между функциональными параметрами. Если данная матрица является обратимой, то доказывается существование и единственность решения как для параметрической, так и для исходной задачи. Предложенный метод не ограничивается лишь доказательством теоретической разрешимости задачи, а предлагает конкретную конструктивную процедуру нахождения решения. Это имеет важное значение для последующих численных реализаций и анализа устойчивости решений. Кроме того, предложенный подход может быть применен к другим типам задач с кусочно-постоянным аргументом, включая системы с импульсными условиями, нейронные сети с эффектом памяти и нелинейные гибридные модели.
This article investigates a boundary value problem for an impulsive hyperbolic equation with a piecewise constant argument. Impulsive hyperbolic equations with a piecewise constant argument arise as mathematical models of physical processes in neural networks, continuous dynamical systems, hybrid systems, and other fields. Issues related to the existence of boundary value problems and the construction of their solutions for such equations remain among the most relevant and challenging problems at present. To obtain solvability conditions for the considered problem, the Dzhumabaev parametrization method is employed, and an iterative algorithm for constructing an approximate solution is developed. For each step of the iterative process, integral formulas are derived and expressed in terms of the matrix Q(x), which describes the relationship between the functional parameters. If this matrix is invertible, the existence and uniqueness of the solution are proved both for the parametric and the original problems. The proposed method is not limited to proving theoretical solvability; it also provides a concrete constructive procedure for obtaining the solution. This is of significant importance for subsequent numerical implementations and for the analysis of solution stability. Moreover, the proposed approach can be applied to other types of problems with a piecewise constant argument, including systems with impulsive conditions, neural networks with memory effects, and nonlinear hybrid models.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.