АЛЬПЕРТ ВЕЙВЛЕТ БАЗИСТЕРІН ҚОЛДАНА ОТЫРЫП ФРЕДГОЛЬМНІҢ БІРІНШІ ТҮРДЕГІ ИНТЕГРАЛДЫҚ ТЕҢДЕУІН БУБНОВ–ГАЛЕРКИН ӘДІСІМЕН САНДЫҚ ШЕШУ

Бұл мақалада Фредгольмнің бірінші түрдегі интегралдық теңдеулерін Бубнов–Галеркин әдісімен шешудің сандық тәсілі ұсынылады, мұнда базистік функциялар ретінде Альперт вейвлеттері пайдаланылады. Аталған теңдеулер қойылымының дұрыс еместігімен (иллю-пост) ерекшеленеді, яғни кіріс деректеріндегі шағын өзгерістер шешімге айтарлықтай әсер етуі мүмкін. Сондықтан мұндай теңдеулерді шешу үшін орнықты және дәл сандық әдістер қажет. Ұсынылып отырған әдісте орто-нормаланған және компакты тірегі бар Альперт вейвлеттері қолданылады, олар локализация қасиеттерімен ерекшеленеді және интегралдық операторды проекциялағанда жақсы жағдайланған, сиретілген (разреженные) матрицалар береді. Бұл өз кезегінде сандық орнықтылықты арттырып, есептеу күрделілігін азайтады. Әртүрлі тор тығыздықтары мен полиномдық дәрежелер үшін сандық эксперименттер жүргізілді. Әдістің дәлдігі нақты аналитикалық шешіммен салыстыру арқылы бағаланды. Нәтижелер абсолюттік қателіктердің өте кіші екенін, кейбір жағ дайларда машиналық дәлдікке жақындайтынын көрсетті. Сонымен қатар, полиномдық базистермен салыстырмалы талдау Альперт вейвлеттеріне негізделген тәсілдің жуықтау сапасы мен жинақтылық жылдамдығы жағынан басымдығын растады. Жалпы алғанда, әдіс тиімділігімен, орнықтылығымен және көпөлшемді немесе шуды деректер жағдайларына кеңейту мүмкіндігімен ерекшеленеді. Бұл Альперт вейвлеттері негізінде құрастырылған Галеркин сұлбаларының қолданбалы ғылымдардағы дұрыс қойылмаған және кері есептерді сандық шешуге арналған сенімді құрал екенін көрсетеді.

1. Bakushinskii, A.B. A numerical method for solving Fredholm integral equations of the 1st kind. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 5 (4), 226–233 (1965). https://doi.org/10.1016/00415553(65)90135-7.

2. Denisov, A.M. Approximation of quasi-solutions of Fredholm’s equation of the first kind with a kernel of special form. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 11 (5), 269–276 (1971). https://doi.org/10.1016/0041-5553(71)90051-6.

3. Denisov, A.M. Approximation of the quasi-solutions of a Fredholm integral equation of the first kind of a special form. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 12 (6), 244–248 (1972). https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90152-8.

4. Denisov, A.M. On the order of approximation when solving a Fredholm equation of the first kind with a kernel of special type. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 13 (1), 255–260 (1974). https://doi.org/10.1016/0041-5553(74)90019-6.

5. Groetsch, C.W. Convergence analysis of a regularized degenerate kernel method for Fredholm integral equations of the first kind. Integral Equations and Operator Theory, 13 (1), 67–75 (1990). https://doi.org/10.1007/BF01195293.

6. Yuan, D., Lu, S., Li, D., Zhang, X. Graph refining via iterative regularization framework. SN Applied Sciences, 1 (387), 1–10 (2019). https://doi.org/10.1007/s42452-019-0412-9.

7. Maleknejad, K., Mollapourasl, R., Nouri, K. Convergence of numerical solution of the Fredholm integral equation of the first kind with degenerate kernel. Applied Mathematics and Computation, 181 (2), 1000– 1007 (2006). https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.01.074.

8. Wei, P. Integral equations and their numerical methods. Beijing: Metallurgical Industry Press, 70–89 (2007).

9. Hackbusch, W. Integral equations: theory and numerical treatment. Birkhäuser, 120 (2012). https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9215-5.

10. Yun, T. Representation theorem and one-iteration theorem for Fredholm integral equation of the first kind ax y. Applied Mathematics and Mechanics, 07, 593–597 (1989). https://doi.org/10.1007/BF02115791

11. Li, J. et al. A rapid solution of a kind of 1D Fredholm oscillatory integral equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 236 (10), 2696–2705 (2012). https://doi.org/10.1016/j.cam.2012.01.007.

12. Han, H., Li, Y., Yin, D., Chen, Z. The necessary and sufficient condition for the existence and uniqueness of a system of Fredholm integral equations of the first kind. Science China Mathematics, 45 (8), 1231– 1248 (2015).

13. He, R., Zhang, L. Numerical methods for Fredholm integral equations of the first kind. In: International Conference on Physics, Computing and Mathematical Modeling, 2018, pp. 133–138.

14. Lin, F., Yang, S. A two-stage method for piecewise-constant solution for Fredholm integral equations of the first kind. Mathematics, 5 (2), 1–16 (2017). https://doi.org/10.3390/math5020028.

15. Lee, J.W., Prenter, P.M. An analysis of the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind. Numerische Mathematik, 30 (1), 1–23 (1978). https://doi.org/10.1007/BF01403903.

16. Khromov, A.A., Khromova, G.V. Finding approximations of continuous solutions to first-kind equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 49 (2), 217–223 (2009). https://doi.org/10.1134/S096554250902002X.

17. Tikhonov, A.N., Goncharsky, A.V., Stepanov, V.V., Yagola, A.G. Numerical methods for the solution of ill-posed problems. Dordrecht: Kluwer, 1995. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8480-7_3.

18. Nair, M.T., Pereverzev, S.V. Regularized collocation method for Fredholm integral equations of the first kind. Journal of Complexity, 23 (4), 454–467 (2007). https://doi.org/10.1016/j.jco.2006.09.002.

19. Maleknejad, K., Saeedipoor, E., Dehbozorgi, R. Legendre wavelets direct method for the numerical solution of Fredholm integral equation of the first kind. In: Proceedings of the World Congress on Engineering, 2016, vol. 1.

20. Bechouat, T. A collocation method for Fredholm integral equations of the first kind via iterative regularization scheme. Mathematical Modelling and Analysis, 28 (2), 237–254 (2023).

21. Luo, X. et al. Multilevel Jacobi and Gauss–Seidel type iteration methods for solving ill-posed integral equations. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 23 (5), 477–490 (2015). https://doi.org/10.1515/jiip2013-0045.

22. Shang, X., Han, D. Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using linear Legendre multi-wavelets. Applied Mathematics and Computation, 191 (2), 440–444 (2007). https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.02.108.

23. Maleknejad, K., Sohrabi, S. Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using Legendre wavelets. Applied Mathematics and Computation, 186 (1), 836–843 (2007). https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.08.023.

24. Maleknejad, K., Lotfi, T., Mahdiani, K. Numerical solution of first kind Fredholm integral equations with wavelets-Galerkin method (WGM) and wavelets precondition. Applied Mathematics and Computation, 186 (1), 794–800 (2007). https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.08.027.

25. Maleknejad, K., Ostadi, A. Using sinc-collocation method for solving weakly singular Fredholm integral equations of the first kind. Applicable Analysis, 96 (4), 702–713 (2017). https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1153629.

26. Karimi, S., Jozi, M. A new iterative method for solving linear Fredholm integral equations using the least squares method. Applied Mathematics and Computation, 250, 744–758 (2015). https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.10.131.

27. Michel, V., Orzlowski, S. On the null space of a class of Fredholm integral equations of the first kind. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 24 (6), 687–710 (2016). https://doi.org/10.1515/jiip-2015-0026.

28. Tamabay, D., Temirbekov, N., Zhumagulov, B. Approximate solution of nonlinear integral Hammerstein equations by projection method using multiwavelets. AIP Conference Proceedings, 2879 (1) (2023). https://doi.org/10.1063/5.0175541.

29. Maleknejad, K., Karami, M. Numerical solution of non-linear Fredholm integral equations by using multiwavelets in the Petrov–Galerkin method. Applied Mathematics and Computation, 168 (1), 102–110 (2005). https://doi.org/10.1016/j.amc.2004.08.047.

30. Walnut, D.F. An Introduction to Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media, 2013.

31. Adibi, H., Assari, P. Chebyshev wavelet method for numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind. Mathematical Problems in Engineering, 2010 (1), Article ID 138408 (2010). https://doi.org/10.1155/2010/138408.

32. Temirbekov, N.M., Temirbekova, L.N., Nurmangaliyeva M.B. Numerical solution of the first kind Fredholm integral equations by projection methods with wavelets as basis functions. TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics, 13 (1), 105–118 (2022).

33. Angadi, L.M. Laguerre wavelet based Galerkin method for the numerical solution of singular boundary value problems. International Journal of Modern Mathematical Sciences, 19 (1), 34–44 (2021).

34. Alpert, N.M. et al. Optimization of dynamic measurement of receptor kinetics by wavelet denoising. Neuroimage, 30 (2), 444–451 (2006). https://doi.org/10.1016/j.neuroimage.2005.09.031.