ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ИНТЕГРАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ ФРЕДГОЛЬМА ПЕРВОГО РОДА МЕТОДОМ БУБНОВА–ГАЛЁРКИНА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ БАЗИСОВ ВЕЙВЛЕТОВ АЛЬПЕРТА

В данной статье представлен численный подход к решению интегральных уравнений Фредгольма первого рода с применением метода Бубнова–Галёркина и базисных функций в виде вейвлетов Альперта. Эти уравнения известны своей некорректностью: малейшие изменения во входных данных могут вызывать существенные отклонения в решении. В связи с этим необходимы устойчивые и точные численные методы. Предлагаемый метод использует ортонормированные и компактно поддержанные вейвлеты Альперта, обладающие отличными локализационными свойствами. Они обеспечивают хорошо обусловленные и разреженные матрицы системы при проецировании интегрального оператора, что повышает численную устойчивость и снижает вычислительную сложность. Серия численных экспериментов была проведена с различными уровнями уточнения и степенями полиномов. Точность метода оценивалась путем сравнения приближенных решений с точным аналитическим решением. Результаты показали исключительно малые абсолютные ошибки, зачастую близкие к машинной точности. Кроме того, сравнительный анализ с базисами из степенных полиномов подтвердил превосходство подхода, основанного на вейвлетах Альперта, как по скорости сходимости, так и по качеству аппроксимации. В целом метод продемонстрировал эффективность, устойчивость и пригодность к дальнейшему расширению на более сложные классы интегральных уравнений, включая многомерные задачи и задачи с зашумленными данными. Это подтверждает потенциал вейвлетных схем Галёркина с базисами Альперта как надежного инструмента для численного решения некорректных и обратных задач в прикладных науках.

1. Bakushinskii, A.B. A numerical method for solving Fredholm integral equations of the 1st kind. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 5 (4), 226–233 (1965). https://doi.org/10.1016/00415553(65)90135-7.

2. Denisov, A.M. Approximation of quasi-solutions of Fredholm’s equation of the first kind with a kernel of special form. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 11 (5), 269–276 (1971). https://doi.org/10.1016/0041-5553(71)90051-6.

3. Denisov, A.M. Approximation of the quasi-solutions of a Fredholm integral equation of the first kind of a special form. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 12 (6), 244–248 (1972). https://doi.org/10.1016/0041-5553(72)90152-8.

4. Denisov, A.M. On the order of approximation when solving a Fredholm equation of the first kind with a kernel of special type. USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, 13 (1), 255–260 (1974). https://doi.org/10.1016/0041-5553(74)90019-6.

5. Groetsch, C.W. Convergence analysis of a regularized degenerate kernel method for Fredholm integral equations of the first kind. Integral Equations and Operator Theory, 13 (1), 67–75 (1990). https://doi.org/10.1007/BF01195293.

6. Yuan, D., Lu, S., Li, D., Zhang, X. Graph refining via iterative regularization framework. SN Applied Sciences, 1 (387), 1–10 (2019). https://doi.org/10.1007/s42452-019-0412-9.

7. Maleknejad, K., Mollapourasl, R., Nouri, K. Convergence of numerical solution of the Fredholm integral equation of the first kind with degenerate kernel. Applied Mathematics and Computation, 181 (2), 1000– 1007 (2006). https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.01.074.

8. Wei, P. Integral equations and their numerical methods. Beijing: Metallurgical Industry Press, 70–89 (2007).

9. Hackbusch, W. Integral equations: theory and numerical treatment. Birkhäuser, 120 (2012). https://doi.org/10.1007/978-3-0348-9215-5.

10. Yun, T. Representation theorem and one-iteration theorem for Fredholm integral equation of the first kind ax y. Applied Mathematics and Mechanics, 07, 593–597 (1989). https://doi.org/10.1007/BF02115791

11. Li, J. et al. A rapid solution of a kind of 1D Fredholm oscillatory integral equation. Journal of Computational and Applied Mathematics, 236 (10), 2696–2705 (2012). https://doi.org/10.1016/j.cam.2012.01.007.

12. Han, H., Li, Y., Yin, D., Chen, Z. The necessary and sufficient condition for the existence and uniqueness of a system of Fredholm integral equations of the first kind. Science China Mathematics, 45 (8), 1231– 1248 (2015).

13. He, R., Zhang, L. Numerical methods for Fredholm integral equations of the first kind. In: International Conference on Physics, Computing and Mathematical Modeling, 2018, pp. 133–138.

14. Lin, F., Yang, S. A two-stage method for piecewise-constant solution for Fredholm integral equations of the first kind. Mathematics, 5 (2), 1–16 (2017). https://doi.org/10.3390/math5020028.

15. Lee, J.W., Prenter, P.M. An analysis of the numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind. Numerische Mathematik, 30 (1), 1–23 (1978). https://doi.org/10.1007/BF01403903.

16. Khromov, A.A., Khromova, G.V. Finding approximations of continuous solutions to first-kind equations. Computational Mathematics and Mathematical Physics, 49 (2), 217–223 (2009). https://doi.org/10.1134/S096554250902002X.

17. Tikhonov, A.N., Goncharsky, A.V., Stepanov, V.V., Yagola, A.G. Numerical methods for the solution of ill-posed problems. Dordrecht: Kluwer, 1995. https://doi.org/10.1007/978-94-015-8480-7_3.

18. Nair, M.T., Pereverzev, S.V. Regularized collocation method for Fredholm integral equations of the first kind. Journal of Complexity, 23 (4), 454–467 (2007). https://doi.org/10.1016/j.jco.2006.09.002.

19. Maleknejad, K., Saeedipoor, E., Dehbozorgi, R. Legendre wavelets direct method for the numerical solution of Fredholm integral equation of the first kind. In: Proceedings of the World Congress on Engineering, 2016, vol. 1.

20. Bechouat, T. A collocation method for Fredholm integral equations of the first kind via iterative regularization scheme. Mathematical Modelling and Analysis, 28 (2), 237–254 (2023).

21. Luo, X. et al. Multilevel Jacobi and Gauss–Seidel type iteration methods for solving ill-posed integral equations. Journal of Inverse and Ill-posed Problems, 23 (5), 477–490 (2015). https://doi.org/10.1515/jiip2013-0045.

22. Shang, X., Han, D. Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using linear Legendre multi-wavelets. Applied Mathematics and Computation, 191 (2), 440–444 (2007). https://doi.org/10.1016/j.amc.2007.02.108.

23. Maleknejad, K., Sohrabi, S. Numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind by using Legendre wavelets. Applied Mathematics and Computation, 186 (1), 836–843 (2007). https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.08.023.

24. Maleknejad, K., Lotfi, T., Mahdiani, K. Numerical solution of first kind Fredholm integral equations with wavelets-Galerkin method (WGM) and wavelets precondition. Applied Mathematics and Computation, 186 (1), 794–800 (2007). https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.08.027.

25. Maleknejad, K., Ostadi, A. Using sinc-collocation method for solving weakly singular Fredholm integral equations of the first kind. Applicable Analysis, 96 (4), 702–713 (2017). https://doi.org/10.1080/00036811.2016.1153629.

26. Karimi, S., Jozi, M. A new iterative method for solving linear Fredholm integral equations using the least squares method. Applied Mathematics and Computation, 250, 744–758 (2015). https://doi.org/10.1016/j.amc.2014.10.131.

27. Michel, V., Orzlowski, S. On the null space of a class of Fredholm integral equations of the first kind. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 24 (6), 687–710 (2016). https://doi.org/10.1515/jiip-2015-0026.

28. Tamabay, D., Temirbekov, N., Zhumagulov, B. Approximate solution of nonlinear integral Hammerstein equations by projection method using multiwavelets. AIP Conference Proceedings, 2879 (1) (2023). https://doi.org/10.1063/5.0175541.

29. Maleknejad, K., Karami, M. Numerical solution of non-linear Fredholm integral equations by using multiwavelets in the Petrov–Galerkin method. Applied Mathematics and Computation, 168 (1), 102–110 (2005). https://doi.org/10.1016/j.amc.2004.08.047.

30. Walnut, D.F. An Introduction to Wavelet Analysis. Springer Science & Business Media, 2013.

31. Adibi, H., Assari, P. Chebyshev wavelet method for numerical solution of Fredholm integral equations of the first kind. Mathematical Problems in Engineering, 2010 (1), Article ID 138408 (2010). https://doi.org/10.1155/2010/138408.

32. Temirbekov, N.M., Temirbekova, L.N., Nurmangaliyeva M.B. Numerical solution of the first kind Fredholm integral equations by projection methods with wavelets as basis functions. TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics, 13 (1), 105–118 (2022).

33. Angadi, L.M. Laguerre wavelet based Galerkin method for the numerical solution of singular boundary value problems. International Journal of Modern Mathematical Sciences, 19 (1), 34–44 (2021).

34. Alpert, N.M. et al. Optimization of dynamic measurement of receptor kinetics by wavelet denoising. Neuroimage, 30 (2), 444–451 (2006). https://doi.org/10.1016/j.neuroimage.2005.09.031.