ЗАДАЧА ТИПА ДИРИХЛЕ ДЛЯ СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ БЕЛЬТРАМИ С СИНГУЛЯРНОЙ ТОЧКОЙ

В статье рассматривается система нелинейных уравнений Бельтрами первого порядка с сингулярной точкой в угловой неограниченной области комплексной плоскости. Эта система уравнений используется в теории поверхностей положительной бесконечно малой кривизны с точкой плотности и для построения изометрических узловых координат на поверхностях положительной кривизны с точкой плотности. В данной работе для этой системы уравнений получено достаточное условие решения задачи типа Дирихле в пространстве непрерывных функций. Для этого воспользуемся общим решением системы соответствующих линейных эллиптических дифференциальных уравнений с сингулярной точкой. Доказательство существования непрерывных решений задачи Дирихле основано на принципе неподвижной точки Шаудера.

1. Радон И. О краевых задачах для логарифмического потенциала // УМН. –1946. – Т. 1. – № 3–4(13–4). – С. 96–124.

2. Данилюк И.И. Нерегулярные граничные задачи на плоскости. – М.: Наука, 1975. – 296 с.

3. Магнарадзе Л. Г. Основные задачи плоской теории упругости для контуров с угловыми точками / Докл. АН СССР. – 1937. – Т. 16, № 3. – С. 157–161.

4. Лопатинский Я.Б. Теория общих граничных задач. – К.: Наукова думка, 1984. – 316 с.

5. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. – М.: Наука, 1988. –512 с. https://urss.ru/cgibin/db.pl?lang=Ru&blang=ru&page=Book&id=275914.

6. Векуа И.Н. Системы дифференциальых уравнений эллиптического типа и граничные задачи с применением к теории оболочек // Матем. сб. – 1952. – Т. 31(73). – № 2. – С. 234–314. https://www.mathnet.ru/rus/sm5531

7. Оспанов К.Н., Отелбаев М. Об обобщенной системе Коши–Римана с негладкими коэффициентами // Изв. вузов. матем. – 1989. – № 3. – С. 48–56; Soviet Math. (Iz. VUZ), 1989, vol. 33, no. 3, pp. 75–89.

8. Усманов З.Д. О бесконечно малых изгибаниях поверхностей положительной кривизны с изолированной точкой уплощения // Матем. сб. – 1970. – Т. 83(125):4(12). – С. 596–615. https://www.mathnet.ru/sm3531.

9. Усманов З.Д. Об одном классе обобщенных систем Коши-Римана с сингулярной точкой // Сиб. матем. журнал. – 1973. – Т.14. – № 5. – С. 1076–1087.

10. Усманов З.Д. Бесконечно малые изгибания поверхностей положительной кривизны с точкой уплощения. https://bibliotekanauki.pl/articles/719678.pdf

11. Абдыманапов С.А., Тунгатаров А. Некоторые классы эллиптических систем на плоскости с сингулярными коэффициентами. – Алматы: «Ғылым», 2005. – 169 c.

12. Тунгатаров А. О непрерывных решениях уравнения Карлемана – Векуа с сингулярной точкой // ДАН СССР. – 1991. – Т. 319. – № 3. – С. 570–573.

13. Тунгатаров А. Об одном классе нелинейных систем обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка // Материалы международной научно–практической конференции «Теория функций, функциональный анализ и их приложения», посвященной 90-летию со дня рождения член-корр. АН КазССР, доктора физ.-мат. наук, профессора Т.И. Аманова. – Т. 1. – Семей, 2013. – С. 132–136.

14. Akhmed-Zaki D.K., Danaev N.T., Tungatarov A. Elliptic systems in the plane with singular coefficients along lines // TWMS Journal of Pure and Applied Mathematics. – 2012. –Vol. 3. – No. 1. – P. 3–10. https://www.naturalspublishing.com/download.asp?ArtcID=17372

15. Солдатов А.П. Сингулярные интегральные операторы и эллиптические краевые задачи. I // Совр. мат. фундам. напр. – 2017. – Т. 63. – № 1. – С. 1–189.

16. Tungatarov А. Задача типа Дирихле для одного класса нелинейных уравнений Карлемана – Векуа с сингулярной точкой // Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика. – 2014. – Т. 80. – № 1. – С. 102–107.

17. Kusherbaeva U. and Altynbek S. On the initial boundary value problem for the Beltrami equation with polar singularity in an unbounded region // Bulletin of Abai KazNPU. Series of Physical and mathematical sciences. – 2024. – Vol. 86. – No. 2. – P. 65–73. https://doi.org/10.51889/2959-5894.2024.86.2.006

18. Gençtürk İlker. Neumann boundary value problem for the Beltrami equation in a ring domain // Turkish Journal of Mathematics. – 2023. – Vol. 47. – No. 5. – Article 20. https://doi.org/10.55730/1300-0098.3449

19. Karaca B. Dirichlet problem for complex model partial differential equations // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2020. – Vol. 65. – No. 10. – P. 1748–1762. https://doi.org/10.1080/17476933.2019.1684478

20. Kusherbayeva U., Abduakhitova G. On Continuous Solutions of the Homogeneous Beltrami Equation with a Polar Singularity // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2023. – Vol. 69. – No. 5. – P. 842–848. https://doi.org/10.1080/17476933.2023.2164886

21. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. – М.: Наука, 1965. – 519 с.