РАЗРЕШИМОСТЬ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА САМАРСКОГО–ИОНКИНА ДЛЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ИНВОЛЮЦИЕЙ

В данной работе исследуется нелокальная краевая задача для дифференциального уравнения второго порядка с инволютивным преобразованием. Цель работы – применить метод параметризации, разработанный профессором Д. Джумабаевым, для изучения разрешимости нелокальных краевых задач в контексте дифференциальных уравнений с инволютивными преобразованиями. Известно, что задача Коши для таких уравнений может не обладать единственностью решения. Поэтому вводятся параметры μ₁=  y(½), μ₂=  y′(½) и производится замена переменных y(x)=u(x)+μ₁+μ₂(x-1/2). Значения параметров определяются в средней точке интервала, что позволяет гарантировать существование единственного решения для задачи Коши исходного уравнения. Проведенная замена переменных формально делит задачу на две составляющие: задача Коши для исходного уравнения и система линейных уравнений по введенным параметрам. Решив задачу Коши и подставив ее решение в краевые условия, можно получить систему линейных уравнений относительно параметров. Если матрица этой системы обратима, то задача имеет единственное решение. В случае, когда матрица необратима, возможны два варианта: либо краевая задача неразрешима, либо у нее существует множество решений. Для второго случая в работе определены собственные значения и условия разрешимости краевой задачи.

1. Кожанов А.И., Бжеумихова О.И. Собственные функции и собственные числа дифференциальных уравнений с инволюцией // Сибирский математический журнал. – 2024. – Т. 65. – № 5. – С. 953–964.

2. Карачик В.В. Бигармоническая задача Неймана с двойной инволюцией // Вестник Южно-Уральского государственного университета. Серия Математика. Механика. Физика. – 2024. – Т. 16. – № 3. – С. 18–26.

3. Дехконов Ф.Н. On the boundary control problem for a pseudo-parabolic equation with involution // Вестник Санкт-Петербургского университета. Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. – 2024. – Т. 20. – № 3. – С. 416–427.

4. Кадиркулов Б.Ж., Каюмова Г.А. Нелокальная задача для уравнения смешанного типа дробного порядка с инволюцией // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. – 2022. – Т. 210. – С. 55–65.

5. Турметов Б.Х., Карачик В.В. О разрешимости краевых задач Дирихле и Неймана для уравнения Пуассона с множественной инволюцией // Вестник Удмуртского университета. Математика. Механика. Компьютерные науки. – 2021. – Т. 31. – № 4. – С. 651–667.

6. Cabada A.; Tojo F.A.F. Differential Equations with Involutions, 1st ed.; Atlantis Press: Paris, France, 2015. ISBN 978-94-6239-120-8.

7. Sarsenbi A.A., Mussirepova E. Green’s function of a boundary value problem for a second-order differential equation with involution // Вестник Национальной инженерной академии Республики Казахстан. – 2022. – Т. 11. – № 12. – С. 21.

8. Dildabek G., Ivanova M.B., Sadybekov M.A. On root functions of nonlocal differential second-order operator with boundary conditions of periodic type // Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science. – 2021. – Т. 112. – № 4.

9. Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation. // Comput Maths Math Phys. –1989. – V. 29. – No. 34. – P. 34–46.

10. Асанова А.Т. и др. О краевой задаче для гиперболического уравнения высокого порядка с импульсной дискретной памятью // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2024. – Т. 21. – № 3. – С. 191–200.

11. Усманов Қ.И., Жаппар А.С. Импульсты шеттік шартты параметрлі интегралдық-дифференциалдық теңдеулер жүйесінің дербес бір жағдайының бірмәнді шешімділігі // Вестник КазНПУ имени Абая. Серия Физико-математические науки. – 2020. – Т. 72. – № 4. – С. 78–84.

12. Искакова Н.Б. и др. Численный метод решения краевой задачи для параболического уравнения // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2024. – Т. 21. – № 3. – С. 165–175.