ҮЗДІКСІЗ БӨЛШЕКТЕРДЕГІ ФРАКТАЛДЫ ГЕОМЕТРИЯ ЖӘНЕ ДЕҢГЕЙЛІ ЖИЫНДАР

Үздіксіз бөлшектер натурал сандар тізбегі ретінде нақты сандардың бірегей бейнесін түсінуге көмектеседі. Гудтың үздіксіз бөлшектер туралы негізгі жұмысы фракталды геометрия мен ерекше жиындардың әрі қарай зерттелуіне түрткі болды. Бұл мақалада төменгі шектермен шектеу арқылы алынған деңгей жиындарына баса назар аудару арқылы Гудтың нәтижелері одан әрі жетілдірілген. Қарапайым тәсілдер арқылы біз теориялық білім мен тәжірибелік бағалау әдістерін қолдана отырып, олардың Хаусдорф өлшемі үшін жаңа шекараларын орнатамыз. Сонымен қатар біз үздіксіз бөлшектер мен фракталдық геометрия арасындағы байланыс туралы түсінігімізді тереңдететін балама дәлелдер мен оның салдарын ұсынамыз. Үздіксіз бөлшектер нақты сандарды натурал сандар тізбегі ретінде өрнектеудің ерекше тәсілін ұсынады, бұл өз кезегінде осы сандардың негізгі құрылымын жақсырақ түсінуге көмектеседі. Гудтың үздіксіз бөлшектердегі іргелі зерттеулеріне сүйеніп, осы математикалық конструкциялар арасындағы қызықты байланыстарды зерттей отырып, бұл мақала фракталдық геометрия мен ерекше жиындар салаларына терең көз жүгіртеді. Біздің басты назарымыз үздіксіз бөлшектерді төменгі шектермен шектеу арқылы құрылған деңгей жиындарының Хаусдорф өлшемін зерттеу. Элементар әдістемелерді қолданып, біз олардың геометриялық қасиеттері туралы түсінігімізді кеңейте отырып, деңгей жиындарының Хаусдорф өлшеміне жаңа теориялық шекараларды ұсынамыз. Теориялық жетістіктер мен практикалық әдістерді біріктіре отырып, бұл зерттеу терең теориялық білім мен үздіксіз бөлшектер және олардың геометриялық қасиеттерін түсіну үшін практикалық қолданбаларды қамтамасыз ету арқылы математикаға үлес қосады.

1. Zhong T.A. Family of fractal sets with Hausdorff dimension 0.618. Chaos, Solitons & Fractals, vol. 42, Issue 12, 2009, pp. 316–321.

2. Good I.J. The fractional dimensional theory of continued fractions. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 37, Issue 3, 1941, pp. 199–228.

3. Hirst K.E. A problem in the fractional dimension theory of continued fractions. The Quarterly Journal of Mathematics, 1970, no. 21(1), pp. 29–35.

4. Hirst K.E. Continued fractions with sequences of partial quotients. Proceedings of the American Mathematical Society, 1973, no. 38(2), pp. 221–227.

5. Cusick T.W. Hausdorff dimension of sets of continued fractions. The Quarterly Journal of Mathematics, 1990, no. 41(3), pp. 277–286.

6. Fan A.H., Liao L.M., Wang B.W. and Wu J. On Khintchine exponents and Lyapunov exponents of continued fractions. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2009, no. 29(1), pp. 73–109.

7. Moorthy C.G. A problem of Good on Hausdorff dimension. Mathematika, 1992, no. 39(2), pp. 244– 246.

8. Łuczak Tomasz. On the fractional dimension of sets of continued fractions. Mathematika 44, 1997, no. 1, pp. 50–53.

9. Feng De Jun, Jun Wu, Jyh-Ching Liang and Tseng S. J. Appendix to the paper by T. Luczak-A simple proof of the lower bound. Mathematika 44, 1997, no. 87, pp. 54–55.

10. Wu Jun.A remark on continued fractions with sequences of partial quotients. Journal of Number Theory 128, 2008, no. 8, pp. 2394–2397.

11. Wang B.W. and Wu J. Hausdorff dimension of certain sets arising in continued fraction expansions. Advances in Mathematics, 218, 2008, pp. 1319–1339.

12. Sun Yu and Jun Wu. A dimensional result in continued fractions. International Journal of Number Theory 10, 2014, no. 4, pp. 849–857.

13. Dyussekenov D. and Kadyrov S. Weakly divergent partial quotients. Asian-European Journal of Mathematics, 2020, no.13(01), p.2050158.

14. Bakhtawar, Ayreena, Philip Bos, and Mumtaz Hussain. Hausdorff dimension of an exceptional set in the theory of continued fractions. Nonlinearity 33, 2020, no. 6, p. 2615.

15. Lü M. and Zhang, Z. On the increasing partial quotients of continued fractions of points in the plane. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2022, no. 105(3), pp. 404–411.

16. Fang L., Ma J., Song K. and Wu M. Dimensions of certain sets of continued fractions with non-decreasing partial quotients. The Ramanujan Journal, 2023, no. 60(4), pp. 965–980.

17. Fang Lulu, Jihua Ma and Kunkun Song. Some exceptional sets of Borel–Bernstein theorem in continued fractions. The Ramanujan Journal 56, 2021, pp. 891–909.

18. Shang L. and Wu M. On the growth behavior of partial quotients in continued fractions. Archiv der Mathematik, 2023, no. 120(3), pp. 297–305.

19. Takahasi H. Hausdorff dimension of sets with restricted, slowly growing partial quotients. Proceedings of the American Mathematical Society, 2023.

20. Khintchine A.Ya., Continued Fractions (University of Chicago Press, Chicago, 1964).

21. Einsiedler M. Ergodic theory. Springer; 2011.

22. Laverde, J.G.T. On the Newton-Raphson method and its modifications. Ciencia en Desarrollo, 2023, no. 14(2), pp. 75–80.