ГЕОМЕТРИЯ ФРАКТАЛОВ И МНОЖЕСТВА УРОВНЕЙ В ЦЕПНЫХ ДРОБЯХ

Цепные дроби предлагают уникальное представление действительных чисел в виде последовательности натуральных чисел. Основополагающая работа Гуда о цепных дробях положила начало дальнейшим исследованиям фрактальной геометрии и исключительных множеств. Эта статья расширяет выводы Гуда, сосредоточив внимание на множествах уровня, построенных путем ограничения частичных дробей нижними границами. Используя элементарные подходы, мы устанавливаем новые границы их хаусдорфовой размерности, предоставляя теоретические знания и практические методы оценки. Кроме того, мы предлагаем альтернативные доказательства и следствия, которые углубляют наше понимание взаимосвязи между цепными дробями и фрактальной геометрией. Цепные дроби представляют особый способ выражения действительных чисел в виде последовательности натуральных чисел, что позволяет лучше понять основную структуру этих чисел. Основываясь на фундаментальных исследованиях Гуда в области цепных дробей, эта статья углубляется в область фрактальной геометрии и исключительных множеств, исследуя интересные связи между этими математическими конструкциями. Наше внимание сосредоточено на исследовании хаусдорфовой размерности множеств уровня, образованных путем ограничения частичных дробей нижними границами. Используя элементарные методологии, мы представляем новые теоретические границы хаусдорфовой размерности этих множеств уровней, обогащая наше понимание их геометрических свойств. Сочетая теоретические достижения и практические методы, это исследование вносит вклад в математику, предоставляя как глубокие теоретические знания, так и практические приложения для понимания цепных дробей и их геометрических свойств.

1. Zhong T.A. Family of fractal sets with Hausdorff dimension 0.618. Chaos, Solitons & Fractals, vol. 42, Issue 12, 2009, pp. 316–321.

2. Good I.J. The fractional dimensional theory of continued fractions. Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, vol. 37, Issue 3, 1941, pp. 199–228.

3. Hirst K.E. A problem in the fractional dimension theory of continued fractions. The Quarterly Journal of Mathematics, 1970, no. 21(1), pp. 29–35.

4. Hirst K.E. Continued fractions with sequences of partial quotients. Proceedings of the American Mathematical Society, 1973, no. 38(2), pp. 221–227.

5. Cusick T.W. Hausdorff dimension of sets of continued fractions. The Quarterly Journal of Mathematics, 1990, no. 41(3), pp. 277–286.

6. Fan A.H., Liao L.M., Wang B.W. and Wu J. On Khintchine exponents and Lyapunov exponents of continued fractions. Ergodic Theory and Dynamical Systems, 2009, no. 29(1), pp. 73–109.

7. Moorthy C.G. A problem of Good on Hausdorff dimension. Mathematika, 1992, no. 39(2), pp. 244– 246.

8. Łuczak Tomasz. On the fractional dimension of sets of continued fractions. Mathematika 44, 1997, no. 1, pp. 50–53.

9. Feng De Jun, Jun Wu, Jyh-Ching Liang and Tseng S. J. Appendix to the paper by T. Luczak-A simple proof of the lower bound. Mathematika 44, 1997, no. 87, pp. 54–55.

10. Wu Jun.A remark on continued fractions with sequences of partial quotients. Journal of Number Theory 128, 2008, no. 8, pp. 2394–2397.

11. Wang B.W. and Wu J. Hausdorff dimension of certain sets arising in continued fraction expansions. Advances in Mathematics, 218, 2008, pp. 1319–1339.

12. Sun Yu and Jun Wu. A dimensional result in continued fractions. International Journal of Number Theory 10, 2014, no. 4, pp. 849–857.

13. Dyussekenov D. and Kadyrov S. Weakly divergent partial quotients. Asian-European Journal of Mathematics, 2020, no.13(01), p.2050158.

14. Bakhtawar, Ayreena, Philip Bos, and Mumtaz Hussain. Hausdorff dimension of an exceptional set in the theory of continued fractions. Nonlinearity 33, 2020, no. 6, p. 2615.

15. Lü M. and Zhang, Z. On the increasing partial quotients of continued fractions of points in the plane. Bulletin of the Australian Mathematical Society, 2022, no. 105(3), pp. 404–411.

16. Fang L., Ma J., Song K. and Wu M. Dimensions of certain sets of continued fractions with non-decreasing partial quotients. The Ramanujan Journal, 2023, no. 60(4), pp. 965–980.

17. Fang Lulu, Jihua Ma and Kunkun Song. Some exceptional sets of Borel–Bernstein theorem in continued fractions. The Ramanujan Journal 56, 2021, pp. 891–909.

18. Shang L. and Wu M. On the growth behavior of partial quotients in continued fractions. Archiv der Mathematik, 2023, no. 120(3), pp. 297–305.

19. Takahasi H. Hausdorff dimension of sets with restricted, slowly growing partial quotients. Proceedings of the American Mathematical Society, 2023.

20. Khintchine A.Ya., Continued Fractions (University of Chicago Press, Chicago, 1964).

21. Einsiedler M. Ergodic theory. Springer; 2011.

22. Laverde, J.G.T. On the Newton-Raphson method and its modifications. Ciencia en Desarrollo, 2023, no. 14(2), pp. 75–80.