УАҚЫТ БОЙЫНША БЕЙЛОКАЛДЫ ДИФФУЗИЯ ТЕҢДЕУІ ҮШІН БАСТАПҚЫ-ШЕТТІК ЕСЕП

Бұл мақалада Капуто мағынасындағы бөлшек ретті туынды мен Риман-Лиувилл мағынасындағы бөлшек ретті интегралдау операторлары қатысқан бөлшек ретті диффузия теңдеуі қарастырылады. Теңдеу кең істік бойынша 0<x<1 кесіндісінде және уақыт бойынша 0<t<T кесіндісінде анықталған аймағында бастапқы және шекаралық шарттармен толықтырылған. Бөлшек операторлар 0<α<β≤1 арқылы, яғни β ретті Капутоның бөлшек ретті туындысы және α ретті Риман-Лиувилл бөлшек ретті интегралы арқылы анықталады. Негізгі нәтижелер – бөлшек операторлармен байланысты белгілі қасиеттерді ұсыну мен жалғыз шешімнің болуы. Негізгі тұжырымдар шешімнің айқын формасын қамтамасыз ететін теорема арқылы жалпыланған. Шешім екі параметрлі Миттаг-Леффлер функциясын және Штурм-Лиувилл операторының ортонормалды меншікті функцияларын қамтитын қатар түрінде көрсетіледі. Шешімнің жинақтылығы дәлелденді, бұл есептің бастапқы функция үшін белгілі бір жағдайларда жалғыз, нақты анықталған шешімі болуын қамтамасыз етеді. Сонымен қатар мақалада жинақтылықты талдау үшін, Миттаг-Леффлер функциясымен байланысты маңызды бағалаулар енгізіліп, дәлелденеді. Қатардың жинақтылығы зерттеледі және шешімнің белгілі бір функционалды кеңістікке жату шарттары белгіленеді. Бұл есептің шеңберінде оның ерекшелігін көрсететін жалғыз шешім көрсетіледі. Көрсетілген аймақтағы шешімнің үздіксіздігі қатардың біркелкі жинақты болуымен дәлелденді.

1. Dubbeldam J.L.A., Milchev A., Rostiashvili V.G., Vilgis T.A., Polymer translocation through a nanopore: A showcase of anomalous diffusion, [Phys. Rev.] E 76, 2007, 010801 (R).

2. Podlubny I., Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.

3. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, 2006.

4. Uchaikin V.V. Method of Fractional Derivatives. Artishok, Ul'janovsk, 2008 [in Russian].

5. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T., On a non-local problem for a multi-term fractional diffusionwave equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, no. 23, 2020, pp. 324–355.

6. Luchko Y. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized timefractional diffusion equation. Comput. Math. Appl., no. 59, 2010, pp. 1766–1772.

7. Luchko Y. Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations. Fract. Calc. Appl. Anal., no.14, 2011, pp. 110–124.

8. Prabhakar T.R. A singular intgeral equation with a generalized Mittag-Leffer function in the kernel. Yokohama Math. J. (19, 1971).

9. Borikhanov M.B., Smadiyeva A.G. Cauchy problems for the time-fractional degenerate diffusion equations, Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, vol. 117, no. 1, 2023.

10. Luchko Y., Yamamoto M. General time-fractional diffusion equation: Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems Fract. Calc. and Appl. Anal., 19: 3, 2018, pp. 676–695.

11. Smadiyeva A.G. Initial-boundary value problem for the time-fractional degenerate diffusion equation JMMCS., 113: 1, 2022, pp. 32–41.

12. Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J., Bandaliyev R. A. On a mixed problem for Hilfer type fractional differential equation with degeneration. Lobachevskii Journal of Mathematics, 43: 1, 2022, pp. 263–274.

13. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T. On a non-local problem for a multi-term fractional diffusion-wave equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, 23:2, 2020, pp. 324–355.

14. Kubica A., Yamamoto M. Initial-boundary value problems for fractional diffusion equations with time-dependent coefficients. Fract. Calc. Appl. Anal., 21:2, 2018, pp. 276–311.

15. Affili E., Valdinoci E. Decay estimates for evolution equations with classical and fractional timederivatives. J. Differential Equations, 266:7, 2019, pp. 4027–4060.

16. Costa S., E.C. de Oliveira, Plata A.R.G. Fractional diffusion with time-dependent diffusion coefficient. Rep. Math. Phys. no. 87, 2021, pp. 59–79.

17. Dipierro S., Valdinoci E., Vespri V. Decay estimates for evolutionary equations with fractional timediffusion. J. Evol. Equ., 19:2, 2019, pp. 435–462.

18. Djida J.-D., Nieto J.J., Area I. Nonlocal time porous medium equation with fractional time derivative. Rev. Mat. Complut., 32:2, 2019, pp. 273–304.

19. Dong H., Kim D. Time fractional parabolic equations with measurable coefficients and embed-dings for fractional parabolic Sobolev spaces. Int. Math. Res. Not. IMRN, 22, 2021, 17563–17610.

20. Boudabsa L., Simon T., Vallois P., Fractional extreme distributions, ArXiv, 2019, 1–46. arXiv: 1908.00584v.