НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ДИФФУЗИИ
https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-54-63
Аннотация
В этой статье исследуется уравнение дробной диффузии, включающее дробную производную Капуто и дробный интеграл Римана-Лиувилля. Уравнение дополнено начальными и граничными условиями в области, определяемой интервалом 0<x<1 по пространственной переменной и 0<t<T по временной переменной. Дробные операторы определены строго, используя дробную производную Капуто порядка β и дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка α, где 0<α<β≤1. Основные результаты включают представление хорошо известных свойств, связанных с дробными операторами, и установлено единственное решение данной задачи. Ключевые выводы обобщены с помощью теоремы, которая обеспечивает явную форму решения. Решение выражается в виде ряда, включающего двухпараметрическую функцию Миттага-Леффлера и ортонормированные собственные функции оператора Штурма-Лиувилля. Доказана единственность решения, гарантирующая, что задача имеет единственное, четко определенное решение при определенных условиях для исходной функции. Кроме того, в статье вводятся и доказываются оценки, связанные с функцией Миттага-Леффлера, предоставляя оценки, имеющие решающее значение для анализа сходимости. Исследуется сходимость ряда и устанавливаются условия принадлежности решения определенному функциональному пространству. Демонстрируется единственное решение, подчеркивающее его необычность в рамках данной задачи. Непрерывность решения в указанной области подтверждается равномерной сходимостью ряда.
Ключевые слова
Об авторе
С. А. МамбетовРоссия
докторант
г. Алматы, 050040
г. Алматы, 050010
Список литературы
1. Dubbeldam J.L.A., Milchev A., Rostiashvili V.G., Vilgis T.A., Polymer translocation through a nanopore: A showcase of anomalous diffusion, [Phys. Rev.] E 76, 2007, 010801 (R).
2. Podlubny I., Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.
3. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, 2006.
4. Uchaikin V.V. Method of Fractional Derivatives. Artishok, Ul'janovsk, 2008 [in Russian].
5. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T., On a non-local problem for a multi-term fractional diffusionwave equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, no. 23, 2020, pp. 324–355.
6. Luchko Y. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized timefractional diffusion equation. Comput. Math. Appl., no. 59, 2010, pp. 1766–1772.
7. Luchko Y. Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations. Fract. Calc. Appl. Anal., no.14, 2011, pp. 110–124.
8. Prabhakar T.R. A singular intgeral equation with a generalized Mittag-Leffer function in the kernel. Yokohama Math. J. (19, 1971).
9. Borikhanov M.B., Smadiyeva A.G. Cauchy problems for the time-fractional degenerate diffusion equations, Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, vol. 117, no. 1, 2023.
10. Luchko Y., Yamamoto M. General time-fractional diffusion equation: Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems Fract. Calc. and Appl. Anal., 19: 3, 2018, pp. 676–695.
11. Smadiyeva A.G. Initial-boundary value problem for the time-fractional degenerate diffusion equation JMMCS., 113: 1, 2022, pp. 32–41.
12. Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J., Bandaliyev R. A. On a mixed problem for Hilfer type fractional differential equation with degeneration. Lobachevskii Journal of Mathematics, 43: 1, 2022, pp. 263–274.
13. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T. On a non-local problem for a multi-term fractional diffusion-wave equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, 23:2, 2020, pp. 324–355.
14. Kubica A., Yamamoto M. Initial-boundary value problems for fractional diffusion equations with time-dependent coefficients. Fract. Calc. Appl. Anal., 21:2, 2018, pp. 276–311.
15. Affili E., Valdinoci E. Decay estimates for evolution equations with classical and fractional timederivatives. J. Differential Equations, 266:7, 2019, pp. 4027–4060.
16. Costa S., E.C. de Oliveira, Plata A.R.G. Fractional diffusion with time-dependent diffusion coefficient. Rep. Math. Phys. no. 87, 2021, pp. 59–79.
17. Dipierro S., Valdinoci E., Vespri V. Decay estimates for evolutionary equations with fractional timediffusion. J. Evol. Equ., 19:2, 2019, pp. 435–462.
18. Djida J.-D., Nieto J.J., Area I. Nonlocal time porous medium equation with fractional time derivative. Rev. Mat. Complut., 32:2, 2019, pp. 273–304.
19. Dong H., Kim D. Time fractional parabolic equations with measurable coefficients and embed-dings for fractional parabolic Sobolev spaces. Int. Math. Res. Not. IMRN, 22, 2021, 17563–17610.
20. Boudabsa L., Simon T., Vallois P., Fractional extreme distributions, ArXiv, 2019, 1–46. arXiv: 1908.00584v.
Рецензия
Для цитирования:
Мамбетов С.А. НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ДИФФУЗИИ. Вестник Казахстанско-Британского технического университета. 2024;21(1):54-63. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-54-63
For citation:
Mambetov S.A. INITIAL-BOUNDARY VALUE PROBLEMS TO THE TIME-NONLOCAL DIFFUSION EQUATION. Herald of the Kazakh-British Technical University. 2024;21(1):54-63. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-54-63