НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕЛОКАЛЬНОЙ ПО ВРЕМЕНИ ДИФФУЗИИ

В этой статье исследуется уравнение дробной диффузии, включающее дробную производную Капуто и дробный интеграл Римана-Лиувилля. Уравнение дополнено начальными и граничными условиями в области, определяемой интервалом 0<x<1 по пространственной переменной и 0<t<T по временной переменной. Дробные операторы определены строго, используя дробную производную Капуто порядка β и дробный интеграл Римана-Лиувилля порядка α, где 0<α<β≤1. Основные результаты включают представление хорошо известных свойств, связанных с дробными операторами, и установлено единственное решение данной задачи. Ключевые выводы обобщены с помощью теоремы, которая обеспечивает явную форму решения. Решение выражается в виде ряда, включающего двухпараметрическую функцию Миттага-Леффлера и ортонормированные собственные функции оператора Штурма-Лиувилля. Доказана единственность решения, гарантирующая, что задача имеет единственное, четко определенное решение при определенных условиях для исходной функции. Кроме того, в статье вводятся и доказываются оценки, связанные с функцией Миттага-Леффлера, предоставляя оценки, имеющие решающее значение для анализа сходимости. Исследуется сходимость ряда и устанавливаются условия принадлежности решения определенному функциональному пространству. Демонстрируется единственное решение, подчеркивающее его необычность в рамках данной задачи. Непрерывность решения в указанной области подтверждается равномерной сходимостью ряда.

1. Dubbeldam J.L.A., Milchev A., Rostiashvili V.G., Vilgis T.A., Polymer translocation through a nanopore: A showcase of anomalous diffusion, [Phys. Rev.] E 76, 2007, 010801 (R).

2. Podlubny I., Fractional Differential Equations, Academic Press, San Diego, 1999.

3. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, 2006.

4. Uchaikin V.V. Method of Fractional Derivatives. Artishok, Ul'janovsk, 2008 [in Russian].

5. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T., On a non-local problem for a multi-term fractional diffusionwave equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, no. 23, 2020, pp. 324–355.

6. Luchko Y. Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems for the generalized timefractional diffusion equation. Comput. Math. Appl., no. 59, 2010, pp. 1766–1772.

7. Luchko Y. Maximum principle and its application for the time-fractional diffusion equations. Fract. Calc. Appl. Anal., no.14, 2011, pp. 110–124.

8. Prabhakar T.R. A singular intgeral equation with a generalized Mittag-Leffer function in the kernel. Yokohama Math. J. (19, 1971).

9. Borikhanov M.B., Smadiyeva A.G. Cauchy problems for the time-fractional degenerate diffusion equations, Journal of Mathematics, Mechanics and Computer Science, vol. 117, no. 1, 2023.

10. Luchko Y., Yamamoto M. General time-fractional diffusion equation: Some uniqueness and existence results for the initial-boundary-value problems Fract. Calc. and Appl. Anal., 19: 3, 2018, pp. 676–695.

11. Smadiyeva A.G. Initial-boundary value problem for the time-fractional degenerate diffusion equation JMMCS., 113: 1, 2022, pp. 32–41.

12. Yuldashev T. K., Kadirkulov B. J., Bandaliyev R. A. On a mixed problem for Hilfer type fractional differential equation with degeneration. Lobachevskii Journal of Mathematics, 43: 1, 2022, pp. 263–274.

13. Ruzhansky M., Tokmagambetov N., Torebek B.T. On a non-local problem for a multi-term fractional diffusion-wave equation. Fractional Calculus and Applied Analysis, 23:2, 2020, pp. 324–355.

14. Kubica A., Yamamoto M. Initial-boundary value problems for fractional diffusion equations with time-dependent coefficients. Fract. Calc. Appl. Anal., 21:2, 2018, pp. 276–311.

15. Affili E., Valdinoci E. Decay estimates for evolution equations with classical and fractional timederivatives. J. Differential Equations, 266:7, 2019, pp. 4027–4060.

16. Costa S., E.C. de Oliveira, Plata A.R.G. Fractional diffusion with time-dependent diffusion coefficient. Rep. Math. Phys. no. 87, 2021, pp. 59–79.

17. Dipierro S., Valdinoci E., Vespri V. Decay estimates for evolutionary equations with fractional timediffusion. J. Evol. Equ., 19:2, 2019, pp. 435–462.

18. Djida J.-D., Nieto J.J., Area I. Nonlocal time porous medium equation with fractional time derivative. Rev. Mat. Complut., 32:2, 2019, pp. 273–304.

19. Dong H., Kim D. Time fractional parabolic equations with measurable coefficients and embed-dings for fractional parabolic Sobolev spaces. Int. Math. Res. Not. IMRN, 22, 2021, 17563–17610.

20. Boudabsa L., Simon T., Vallois P., Fractional extreme distributions, ArXiv, 2019, 1–46. arXiv: 1908.00584v.