АНАЛИТИЧЕСКОЕ И ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ДВУМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАПЛАСА В ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ

В данной работе исследуется стационарная задача теплопроводности в многослойной цилиндри­ческой области с неоднородными граничными условиями. Рассмотрены два подхода к решению пря­мой задачи: аналитический метод, основанный на разделении переменных и разложении в ряд Фурье, и численный метод, основанный на конечно-разностной аппроксимации в сочетании с алгоритмом последовательной верхней релаксации (SOR). Получено точное аналитическое решение уравнения Лапласа в полярных координатах для трёхслойной цилиндрической системы с условиями сопряже­ния на границах раздела слоёв и конвективным теплообменом на внешней границе. Для численного решения разработана конечно-разностная схема, а возникающая система линейных алгебраических уравнений решается итерационным методом SOR. Точность численного подхода оценена путём срав­нения с аналитическим решением и экспериментальными измерениями температуры. Полученные результаты демонстрируют отличное согласование аналитического и численного решений. Средняя абсолютная ошибка между двумя подходами составляет 0.158K, среднеквадратическая ошибка — 0.167K, а максимальная абсолютная ошибка не превышает 0.241K. Экспериментальная валидация показала, что обе модели корректно воспроизводят общее распределение температуры в многослой­ной цилиндрической системе. Средняя абсолютная ошибка относительно экспериментальных дан­ных составляет 2.872K для аналитического решения и 3.024K для решения, полученного методом SOR. Проведённый анализ подтверждает высокую точность и устойчивость разработанного конечно­разностного алгоритма и демонстрирует его применимость для моделирования процессов теплопереноса в многослойных цилиндрических конструкциях. Предложенный подход может быть использо­ван при тепловом анализе трубопроводов, геотермальных систем, теплоизоляционных конструкций и других инженерных объектов, содержащих многослойные среды.

1. Yang B., Liu S. Closed-form analytical solutions of transient heat conduction in hollow composite cylinders with any number of layers. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2017, 108, 907–917. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.12.020

2. Kayhani M. H., Norouzi M., Amiri Delouei A. A general analytical solution for heat conduction in cylindrical multilayer composite laminates. International Journal of Thermal Sciences, 2012, 52(1), 73–82. https://doi.org/10.1016/j.ijthermalsci.2011.09.002

3. Amiri Delouei A., Jing D. A comprehensive review on multi-dimensional heat conduction of multi-layer and composite structures: Analytical solutions. Journal of Thermal Science, 2021, 30(6), 1875–1907. https://doi.org/10.1007/s11630-021-1517-1.

4. Lu X., Tervola P., Viljanen M. Transient analytical solution to heat conduction in multidimensional composite cylinder slab. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2006, 49(5-6), 1107–1114. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.08.033.

5. Mansour S., Canot E., Muhieddine M. Identification of the Thermophysical Proper- ´ ties of the Soil by Inverse Problem. Journal of Heat Transfer, 2016, 138(9), 091010. https://doi.org/10.1115/1.4032947.

6. AMIRI DELOUEI, A., EMAMIAN, A., SAJJADI, H. et al. A Comprehensive Review on Multi-Dimensional Heat Conduction of Multi-Layer and Composite Structures: Analytical Solutions. J. Therm. Sci. 30, 1875–1907 (2021). https://doi.org/10.1007/s11630-021-1517-1.

7. Satybaldina A., Ydyrys A. Analytical solution of steady-state heat equation in polar coordinates for multilayer soils. In Proceedings of the IEEE 5th International Conference on Smart Information Systems and Technologies (SIST), Astana, Kazakhstan, 14–16 May 2025; IEEE: Piscataway, NJ, USA, 2025; pp. 1–5, https://doi.org/10.1109/SIST61657.2025.11139181.

8. Rysbaiuly B., Ydyrys A.Z., Satybaldina A.N. Inverse problem for the 2D Laplace equation in polar coordinates. Vestn. Natl. Eng. Acad. Repub. Kazakhst. 2024, 3, 342–350, https://doi.org/10.47533/2024.1606-146X.73.

9. Satybaldina A, Rysbaiuly B, Ydyrys A, Alpar S, Rysbayeva K, Sakabekov A. Inverse Problem of Heat Conduction in a Multilayer Cylindrical System. Symmetry. 2026; 18(6):908. https://doi.org/10.3390/sym18060908.

10. Carslaw H.S., Jaeger J.C., Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., Oxford University Press: Oxford, UK, 1959.

11. Ozisik M.N., Heat Conduction, 2nd ed., Wiley: New York, NY, USA, 1993. ¨

12. Koleva M.N., Vulkov L.G., Computational Solution of an Inverse Boundary-Value Problem for Heat Transfer in a Composite Material. Appl. Sci. 2025, 15, 10230. https://doi.org/10.3390/app151810230.

13. Bollati J., Natale M., Semitiel J.A., Tarzia D.A., Relationship among solutions for three-phase change problems with Robin, Dirichlet and Neumann boundary conditions. Int. Commun. Heat Mass Transf. 2025, 165, 108966. https://doi.org/10.1016/j.icheatmasstransfer.2025.108966.

14. Maruˇsi´c-Paloka E., Paˇzanin I., The Robin boundary condition for modelling heat transfer. Proc. R. Soc. A 2024, 480, 20230850.

15. Pyatkov S.G., Identification of the heat transfer coefficient using an inverse heat conduction model. arXiv 2024, arXiv:2401.01551. https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.01551.

16. Price, J.F. Dimensional Analysis of Models and Data Sets. Am. J. Phys. 2003, 71, 437–447. https://doi.org/10.1119/1.1533057.

17. Hancock, M.J. The 1-D Heat Equation; MIT OpenCourseWare: Cambridge, MA, USA, 2006.

18. Incropera, F.P., DeWitt, D.P., Bergman, T.L., Lavine, A.S. Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th ed., Wiley: Hoboken, NJ, USA, 2007.

19. Deconinck B., Pelloni B., Sheils N.E., Non-steady-state heat conduction in composite walls. Proc. R. Soc. A 2014, 470, 20130605. https://doi.org/10.1098/rspa.2013.0605.

20. Rysbayeva N., Alpar S., Rysbaiuly B. Inverse Problem for the Moisture Transfer Equation: Development of a Method for Finding the Unknown Parameter and Proof of the Convergence of the Iterative Process, Symmetry. 2024; 16(11):1444. https://doi.org/10.3390/sym16111444

21. Alpar S., Rysbaiuly B. Determination of thermophysical characteristics in a nonlinear inverse heat transfer problem, Applied Mathematics and Computation. Volume 440, 2023, https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127656

22. Rysbaiuly B., Alpar S. Experimental Data and the Nonlinear Inverse Problem of Heat Transfer, International Journal of Mathematics and Physics. Volume 13, 2022, 10.26577/ijmph.2022.v13.i1.01

23. Rysbaiuly B., Alpar S. Solution of a nonlinear heat transfer problem based on experimental data, KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series. Volume 114, 2022, 10.26577/JMMCS.2022.v114.i2.014