ЦИЛИНДРЛIК КООРДИНАТАЛАРДАҒЫ ЕКI ӨЛШЕМДI ЛАПЛАС ТЕҢДЕУIНIҢ АНАЛИТИКАЛЫҚ ЖӘНЕ САНДЫҚ ШЕШIМI

Бұл жұмыста бiртектi емес шекаралық шарттары бар көпқабатты цилиндрлiк облыстағы стационарлық жылуөткiзгiштiк есебi зерттеледi. Тура есептi шешудiң екi тәсiлi қарастырылады: айнымалыларды жiктеу және Фурье қатарына жiктеу әдiстерiне негiзделген аналитикалық тәсiл және соңғы айырымдық аппроксимация мен тiзбектi жоғарғы релаксация (SOR) алгоритмiн пайдаланатын сандық тәсiл. Қабаттар арасындағы түйiсу шарттары және сыртқы шекарадағы конвективтiк жылуалмасу ескерiлген үш қабатты цилиндрлiк жүйе үшiн полярлық координаталардағы Лаплас теңдеуiнiң дәл аналитикалық шешiмi алынды. Сандық шешiм үшiн соңғы айырымдық схема құрылып, алынған сызықтық алгебралық теңдеулер жүйесi SOR итерациялық әдiсiмен шешiлдi. Сандық тәсiлдiң дәлдiгi аналитикалық шешiммен және температураның эксперименттiк өлшемдерiмен салыстыру арқылы бағаланды. Алынған нәтижелер аналитикалық және сандық шешiмдердiң өте жақ-сы сәйкестiгiн көрсеттi. Екi тәсiл арасындағы орташа абсолюттiк қате 0.158K, орташа квадраттық қате 0.167K, ал максималды абсолюттiк қате 0.241K. Эксперименттiк тексеру екi модельдiң де көпқабатты цилиндрлiк жүйедегi температураның жалпы таралуын дұрыс сипаттайтынын көрсеттi. Эксперименттiк деректерге қатысты орташа абсолюттiк қате аналитикалық шешiм үшiн 2.872K, ал SOR шешiмi үшiн 3.024K құрайды. Жүргiзiлген талдау ұсынылған соңғы айырымдық алгоритмнiң жоғары дәлдiгi мен орнықтылығын растайды және оның көпқабатты цилиндрлiк құрылымдардағы жылуалмасу процестерiн модельдеуде тиiмдi қолданылатынын көрсетедi. Ұсынылған тәсiл құбыржолдардың, геотермалдық жүйелердiң, жылуоқшаулау құрылымдарының және көпқабатты орталарды қамтитын басқа да инженерлiк объектiлердiң жылулық талдауында қолданылуы мүмкiн.

1. Yang B., Liu S. Closed-form analytical solutions of transient heat conduction in hollow composite cylinders with any number of layers. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2017, 108, 907–917. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2016.12.020

2. Kayhani M. H., Norouzi M., Amiri Delouei A. A general analytical solution for heat conduction in cylindrical multilayer composite laminates. International Journal of Thermal Sciences, 2012, 52(1), 73–82. https://doi.org/10.1016/j.ijthermalsci.2011.09.002

3. Amiri Delouei A., Jing D. A comprehensive review on multi-dimensional heat conduction of multi-layer and composite structures: Analytical solutions. Journal of Thermal Science, 2021, 30(6), 1875–1907. https://doi.org/10.1007/s11630-021-1517-1.

4. Lu X., Tervola P., Viljanen M. Transient analytical solution to heat conduction in multidimensional composite cylinder slab. International Journal of Heat and Mass Transfer, 2006, 49(5-6), 1107–1114. https://doi.org/10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.08.033.

5. Mansour S., Canot E., Muhieddine M. Identification of the Thermophysical Proper- ´ ties of the Soil by Inverse Problem. Journal of Heat Transfer, 2016, 138(9), 091010. https://doi.org/10.1115/1.4032947.

6. AMIRI DELOUEI, A., EMAMIAN, A., SAJJADI, H. et al. A Comprehensive Review on Multi-Dimensional Heat Conduction of Multi-Layer and Composite Structures: Analytical Solutions. J. Therm. Sci. 30, 1875–1907 (2021). https://doi.org/10.1007/s11630-021-1517-1.

7. Satybaldina A., Ydyrys A. Analytical solution of steady-state heat equation in polar coordinates for multilayer soils. In Proceedings of the IEEE 5th International Conference on Smart Information Systems and Technologies (SIST), Astana, Kazakhstan, 14–16 May 2025; IEEE: Piscataway, NJ, USA, 2025; pp. 1–5, https://doi.org/10.1109/SIST61657.2025.11139181.

8. Rysbaiuly B., Ydyrys A.Z., Satybaldina A.N. Inverse problem for the 2D Laplace equation in polar coordinates. Vestn. Natl. Eng. Acad. Repub. Kazakhst. 2024, 3, 342–350, https://doi.org/10.47533/2024.1606-146X.73.

9. Satybaldina A, Rysbaiuly B, Ydyrys A, Alpar S, Rysbayeva K, Sakabekov A. Inverse Problem of Heat Conduction in a Multilayer Cylindrical System. Symmetry. 2026; 18(6):908. https://doi.org/10.3390/sym18060908.

10. Carslaw H.S., Jaeger J.C., Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., Oxford University Press: Oxford, UK, 1959.

11. Ozisik M.N., Heat Conduction, 2nd ed., Wiley: New York, NY, USA, 1993. ¨

12. Koleva M.N., Vulkov L.G., Computational Solution of an Inverse Boundary-Value Problem for Heat Transfer in a Composite Material. Appl. Sci. 2025, 15, 10230. https://doi.org/10.3390/app151810230.

13. Bollati J., Natale M., Semitiel J.A., Tarzia D.A., Relationship among solutions for three-phase change problems with Robin, Dirichlet and Neumann boundary conditions. Int. Commun. Heat Mass Transf. 2025, 165, 108966. https://doi.org/10.1016/j.icheatmasstransfer.2025.108966.

14. Maruˇsi´c-Paloka E., Paˇzanin I., The Robin boundary condition for modelling heat transfer. Proc. R. Soc. A 2024, 480, 20230850.

15. Pyatkov S.G., Identification of the heat transfer coefficient using an inverse heat conduction model. arXiv 2024, arXiv:2401.01551. https://doi.org/10.48550/arXiv.2401.01551.

16. Price, J.F. Dimensional Analysis of Models and Data Sets. Am. J. Phys. 2003, 71, 437–447. https://doi.org/10.1119/1.1533057.

17. Hancock, M.J. The 1-D Heat Equation; MIT OpenCourseWare: Cambridge, MA, USA, 2006.

18. Incropera, F.P., DeWitt, D.P., Bergman, T.L., Lavine, A.S. Fundamentals of Heat and Mass Transfer, 6th ed., Wiley: Hoboken, NJ, USA, 2007.

19. Deconinck B., Pelloni B., Sheils N.E., Non-steady-state heat conduction in composite walls. Proc. R. Soc. A 2014, 470, 20130605. https://doi.org/10.1098/rspa.2013.0605.

20. Rysbayeva N., Alpar S., Rysbaiuly B. Inverse Problem for the Moisture Transfer Equation: Development of a Method for Finding the Unknown Parameter and Proof of the Convergence of the Iterative Process, Symmetry. 2024; 16(11):1444. https://doi.org/10.3390/sym16111444

21. Alpar S., Rysbaiuly B. Determination of thermophysical characteristics in a nonlinear inverse heat transfer problem, Applied Mathematics and Computation. Volume 440, 2023, https://doi.org/10.1016/j.amc.2022.127656

22. Rysbaiuly B., Alpar S. Experimental Data and the Nonlinear Inverse Problem of Heat Transfer, International Journal of Mathematics and Physics. Volume 13, 2022, 10.26577/ijmph.2022.v13.i1.01

23. Rysbaiuly B., Alpar S. Solution of a nonlinear heat transfer problem based on experimental data, KazNU Bulletin. Mathematics, Mechanics, Computer Science Series. Volume 114, 2022, 10.26577/JMMCS.2022.v114.i2.014