ОБРАТНАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ВРЕМЕННЫМ КОЭФФИЦИЕНТОМ В ГРАНИЧНОМ УСЛОВИИ

В данной работе рассматривается обратная задача для параболического уравнения, в которой в граничное условие включён зависящий от времени коэффициент. Дополнительная информация задаётся интегральным условием переопределения, связывающим решение с заданной функцией времени. Для решения задачи используется спектральный метод, основанный на разложении решения по собственным функциям соответствующей краевой задачи с однородными граничными условиями. Благодаря этому разложению исходная задача сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений для коэффициентов разложения. Решая полученную систему и подставляя представление решения в интегральное условие, задача сводится к нелинейному интегральному уравнению типа Вольтерры относительно неизвестного коэффициента. Для полученного уравнения вводится соответствующий оператор и исследуются его свойства. Доказаны существование и единственность решения на интервале [0, T] при выполнении условия сжатия для построенного оператора. Показано, что наличие неизвестного коэффициента в граничном условии приводит к изменению структуры получаемого интегрального уравнения по сравнению с классическими постановками обратных задач. Предложенный подход может быть применён к более широкому классу обратных задач для параболических уравнений с неклассическими граничными условиями.

1. M. I. Ismailov, F. Kanca. An inverse coefficient problem for a parabolic equation in the case of nonlocal boundary and overdetermination conditions // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 2010. Vol. 33. P. 692–702.

2. L. Yang, M. Dehghan, J.-N. Yu, G.-W. Luo. Inverse problem of time-dependent heat sources numerical reconstruction // Mathematics and Computers in Simulation. 2011. Vol. 81, No. 8. P. 1656–1672.

3. J. R. Cannon, Y. Lin, S. Wang. Determination of a control parameter in a parabolic partial differential equation // Journal of the Australian Mathematical Society. Series B. 1991. Vol. 33. P. 149–163.

4. M. I. Ivanchov, N. V. Pabyrivska. Simultaneous determination of two coefficients of a parabolic equation in the case of nonlocal and integral conditions // Ukrainian Mathematical Journal. 2001. Vol. 53, No. 5. P. 674–684.

5. M. I. Ivanchov. Inverse Problems for Equations of Parabolic Type // Lviv: VNTL Publishers, 2003.

6. G. K. Namazov. Definition of the unknown coefficient of a parabolic equation with nonlocal boundary and complementary conditions // Transactions of Academy of Sciences of Azerbaijan. 1999. Vol. 19, No. 5. P. 113–117.

7. N. I. Ionkin. Solution of a boundary-value problem in heat conduction with a nonclassical boundary condition // Differential Equations. 1977. Vol. 13. P. 204–211.

8. I. C. Gohberg, M. G. Krein. Introduction to the theory of linear nonselfadjoint operators // Providence, RI: American Mathematical Society, 1969.

9. A. A. Samarskii. The Theory of Difference Schemes // New York: Marcel Dekker, 2001.

10. K. E. Atkinson. Elementary Numerical Analysis // New York: Wiley, 1985.

11. T.-E. Oussaeif, A. Bouziani. An inverse coefficient problem for a parabolic equation under nonlocal boundary and integral overdetermination conditions // International Journal of Partial Differential Equations and Applications. 2014. Vol. 2, No. 3. P. 38–43.

12. M. Sadybekov, G. Oralsyn, M. Ismailov. An inverse problem of finding the time-dependent heat transfer coefficient from an integral condition // International Journal of Pure and Applied Mathematics. 2017. Vol. 113, No. 4. P. 661–671.

13. N. Huzyk. Coefficient inverse problem for the degenerate parabolic equation // Differential Equations & Applications. 2021. Vol. 13, No. 3. P. 243–255.

14. M. I. Ismailov, T. Ozawa, D. Suragan. Inverse problems of identifying the time-dependent source coefficient for subelliptic heat equations // Inverse Problems and Imaging. 2024. Vol. 18, No. 4. P. 813–823.

15. S. E. Aitzhanov, K. H. Bayetov, M. I. Ismailov. Inverse source problem for p-harmonic pseudoparabolic equation // Journal of Pseudo-Differential Operators and Applications. 2026. Vol. 17. Article 33. doi:10.1007/s11868-026-00781-3