ДВУХФАЗНЫЕ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ ТИПА ШТУРМА И С ДРОБНОЙ ПРОИЗВОДНОЙ ПО ВРЕМЕНИ

В работе исследуется начально-краевая задача типа Штурма для уравнения теплопроводности с ку­сочно-постоянным коэффициентом и производной Капуто порядка < α < 1 по времени. Рассматрива­емая область представляет собой интервал :", , содержащий строго внутреннюю точку разрыва x = x₀. С физической точки зрения эта задача моделирует процесс распространения темпепатупиого поля в тонком стержне длины . Стержень является составным и состоит из двух участков (0, x₀)  и (x₀, l),  обладающих различными теплофизическими характеристиками. В точке контакта двух сред x = x₀ задаются условия идеального контакта, подразумевающие непрерывность температуры и непрерывность теплового потока при переходе из одной среды в другую. Основной целью работы является обоснование решения поставлен­ной начально-краевой задачи методом разделения переменных (методом Фурье). Применение этого метода приводит к необходимости исследования соответствующей спектральной задачи для обыкновенного диффе­ренциального оператора с разрывным коэффициентом при старшей производной.

1. Gorenflo, R., Mainardi, F. Fractional calculus. In: Carpinteri, A., Mainardi, F. (eds). Fractals and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. International Centre for Mechanical Sciences, vol. 378. Springer, Vienna (1997). https://doi.org/10.1007/978-3-7091-2664-6_5.

2. Wyss, W. The fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Physics, 27, 2782–2785 (1986). https://doi.org./10.1063/1.527251.

3. Mainardi, F. The fundamental solution for the fractional diffusion-wave equation. Applied Mathematics Letters, 9(6), 23-28 (1996). https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0893965996000894

4. Luchko, Y. Maximum principle for the generalized time-fractional diffusion equation. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 351(1), 218–223 (2009).

5. Agrawal, O.P. Solution for a fractional diffusion-wave equation defined in a bounded domain. Nonlinear Dynamics, 29(1), 145–155 (2002).

6. Псху, А.В. Уравнения в частных производных дробного порядка. М.: Наука (2005).

7. Samarskiy, A.A. Parabolic equations with discontinuous coefficients. Doklady Akademii Nauk SSSR, 121(2), 225–228 (1958).

8. Hald, O.H. Discontinuous inverse eigenvalue problems. Communications on Pure and Applied Mathematics, 37, 539–577 (1984). https://doi.org/10.1002/cpa.3160370502.

9. Il’in, V.A., Kritskov, L.V. Properties of spectral expansions corresponding to non-self-adjoint differential operators. In: Functional Analysis. Itogi Nauki i Tekhniki. Series: Sovremennaya Matematika. Prilozheniya. Tematicheskie Obzory, Vol. 96, VINITI, Moscow, 5–105 (2006).

10. English transl.: Journal of Mathematical Sciences (New York), 116(5), 3489–3550 (2003).

11. Kapustin, N.Y., Moiseev, E.I. The basis property in Lp of the systems of eigenfunctions corresponding to two problems with a spectral parameter in the boundary condition. Differential Equations, 36, 1498–1501 (2000). https://doi.org/10.1007/BF02757389.11.

12. Koilyshov, U., Sadybekov, M., Beisenbayeva, K. Solution to initial-boundary value problem for the heat conductivity equation with a discontinuous coefficient and general conjugation conditions. International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences, 2025, Article ID 2756189, 9 pp. (2025). https://doi.org/10.1155/ijmm/2756189.

13. Koilyshov, U.K., Sadybekov, M.A., Beisenbayeva, K.A. Solution of nonlocal boundary value problems for the heat equation with discontinuous coefficients in the case of two discontinuity points. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series, 117(1), 81–91 (2025). https://doi.org/10.31489/2025M1/81-91.

14. Koilyshov, U.K., Sadybekov, M.A., Beisenbayeva, K.A. Solution of initial-boundary value problem for heat equation with a discontinuous coefficient and general conjugation condition. Filomat, 39(23), 7997– 8005 (2025).

15. Koilyshov, U., Sadybekov, M. Two-phase heat conduction problems with Sturm-type boundary conditions. Boundary Value Problems, 2024, Article ID 149 (2024). https://doi.org/10.1186/s13661-024- 01964-x.

16. Kilbas, A.A., Srivastava, H.M., Trujillo, J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. North-Holland Mathematics Studies, Vol. 204. Elsevier, New York (2006). https://doi.org/10.1016/S0304-0208(06)80001-0.