О БАЗИСНОСТИ СИСТЕМ СОБСТВЕННЫХ И ПРИСОЕДИНЕННЫХ ФУНКЦИЙ ОПЕРАТОРА КРАТНОГО ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ С НЕЛОКАЛЬНЫМИ «ВОЗМУЩЕННЫМИ» КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ

В статье исследуется спектральная задача для оператора кратного дифференцирования Штурма–Лиувилля, заданного на отрезке с нелокальными интегральными «возмущенными» граничными условиями. Рассматриваемые граничные условия являются регулярными, но не усиленно регулярными, что существенно осложняет анализ спектральных свойств оператора и изучение базисных свойств соответствующих систем корневых функций, а также ограничивает применение классических методов спектральной теории. Основной целью работы является исследование свойств базисности систем собственных и присоединенных функций в пространстве квадратично суммируемых функций, а также анализ их устойчивости и неустойчивости при малых изменениях параметров задачи и интегральных ядер в граничных условиях. В качестве частного случая подробно рассматривается задача Самарского–Ионкина с интегральными «возмущенными» граничными условиями. Доказано, что система собственных и присоединенных функций данной задачи образует базис Рисса в пространстве квадратично суммируемых функций на отрезке. Показано, что при малых изменениях интегрального ядра в граничных условиях свойства базисности могут быть неустойчивым. Установлено, что множества систем корневых функций, образующих базис Рисса, и систем корневых функций, не образующих обычного базиса, являются плотными в рассматриваемом функциональном пространстве L1. Полученные результаты представляют интерес для дальнейшего развития спектральной теории дифференциальных операторов на отрезке и ее приложений.

1. Ильин В.А. О связи между видом краевых условий и свойствами базисности и равносходимости с тригонометрическим рядом разложений по корневым функциям несамосопряженного дифференциального оператора // Дифференциальные уравнения. – 1994. – Т. 30, № 9. – С. 1516–1529. URL: https://www.mathnet.ru/rus/de9437

2. Макин А.С. О нелокальном возмущении периодической задачи на собственные значения // Дифференциальные уравнения. – 2006. – Т. 42, № 4. – С. 560–562. https://doi.org/10.1134/S0012266106040185

3. Lang P., Locker J. Spectral theory of two-point differential operators determined by D2nD^{2n} D2n // Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 1990. – Vol. 146, No. 1. – P. 148–191. https://doi.org/10.1016/0022-247X(90)90339-H

4. Dukenbaeva A., Sadybekov M.A.On a spectral problem for the Laplace operator with more general boundary conditions // Herald of the Kazakh-British Technical University. – 2024. – Vol. 21, No. 4. – P. 146–152. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-4-146-152

5. Sadybekov M.A., Imanbaev N.S. Characteristic determinant of a boundary value problem, which does not have the basis property//Eurasian Math. J. – 2017. – Vol. 8, No. 2. – P. 148–191. URL: https://www. mathnet.ru/rus/emj/v8/i2/p40

6. Сатпаева З.З., Кангужин Б.Е. Регуляризованный след оператора Штурма–Лиувилля на графезвезде // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2025. – Т. 22, № 1. – С. 229– 238.https://doi.org/10.55452/1998-6688-2025-22-1-229-238

7. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – М.: Наука, 1969. – 352 с.

8. Шкаликов А.А.О базисности собственных функций обыкновенных дифференциальных операторов с интегральными краевыми условиями // Вестник МГУ. Серия: Математика. Механика. – 1982. – № 6. – С. 12–21. URL: https://www.mathnet.ru/vmumm3582

9. Imanbaev N.S., Sairam N.N. On the quadratic closeness of eigenfunctions of «unperturbed» and «perturbed» differentiation operators on an interval // Herald to National Engineering Academy of the Republic of Kazakhstan – 2024. – № 3(93). – С. 313–319. https://doi.org/10.47533/2024.1606-146X.70

10. Imanbaev N.S. On basic properties of eigenfunctions and associated functions of one loaded operator of multiple differentiation // Lobachevskii J. Math. – 2022. – Т. 43, № 3. – С. 749–754. URL: https://www.mathnet.ru/vmumm3582

11. Hardy G.H., Littlewood J.E., Pólya G. Inequalities. – Cambridge: Cambridge University Press, 1948. – 456 p.

12. Функциональный анализ / Под ред. С.Г. Крейна. – М.: Мир, 1972.