ИССЛЕДОВАНИЕ МНОГОПЕРИОДИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КОНЕЧНО-ЭРЕДИТАРНОЙ СИСТЕМЫ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

К проблеме необходимости исследования интегро-дифференциальных уравнений приводят многочисленные задачи приложения ряда областей естествознания и техники. Исследование интегро-дифференциальных уравнений, описывающие предысторию процесса или явления, начались с работ В. Вольтерра с учетом влияния интегрального члена. Известны различные подходы учета «наследственности», «последействия». Отметим, что установление существования многопериодических и квазипериодических решений системы интегро-дифференциальных уравнений типа Вольтерра не всегда однозначно разрешимо. Рассматривается система интегро-дифференциальных уравнений в частных производных со специальным оператором дифференцирования. Используя метод периодических характеристик, построены интегральные представления многообразия решений таких систем с последействием. Установлены некоторые свойства итерированных ядер и резольвенты, а также получены оценки. Найдены условия существования матричной функции типа Грина многопериодической задачи и интегральное представление с соответствующей оценкой. Получены достаточные условия существования и единственности многопериодического решения, которые являются интегральным многообразием интегро-дифференциальной системы с конечной эредитарностью.

1. Volterra, V. Theory of functionals, integral and integro-differential equations (Moscow: Dover Publications, 2005), 226.

2. De Bonis, M.C., Occorsio, D. Quadrature methods for integro-differential equations of Prandtl’s type in weighted spaces of continuous functions. Applied Mathematics and Computation, 393, 125721 (2021). https://doi.org/10.1016/j.amc.2020.125721

3. Xie, Ch., Zhu. L., An, Ch., Shao, Y. A rapid steady/unsteady aerodynamic analysis method based on panel method coupled boundary layer theory. Aerospace Science and Technology, 165, 110494 (2025). DOI.10.1016/j.ast.2025.110494.

4. Doicu, A., Mishchenko, M., Efremenko, D., Trautmann, T. Spectral Spherical Harmonics Discrete Ordinate Method. Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 1–17 (2020). https://doi.org/10.1016/j.jqsrt.2020.107386

5. Yonghong, Y., Shoude, H. Almost periodic solution of delayed systems (Lotka–Volterra type). International Journal of Control, 2492–2506 (2016). https://doi.org/10.1080/00207179.2016.1168526.

6. Ros-Oton, X., Serra, J., Valdinoci, E. Pohozaev identities for anisotropic integro-differential operators. Communications in Partial Differential Equations, 1–32 (2016). https://doi.org/10.48550/arXiv.1502.01431.

7. Yuldashev, T.K. On a boundary value problem for Boussinesq type nonlinear partial integro differential equation with reflecting argument. Lobachevskii J. Math., 41, 111–123 (2020).

8. Assanova, A.T. A two-point boundary value problem for a fourth order partial integro-differential equation. Lobachevskii J. Math., 42, 526–535 (2021).

9. Yuldashev, T.K., Kadirkulov, B.J. Boundary Value Problem for Weak Nonlinear Partial Differential Equations of Mixed Type with Fractional Hilfer Operator. Axioms, 9(2), 68 (2020). https://doi.org/10.3390/axioms9020068.

10. Bykov, Ya.V. O nekotorykh voprosakh kachestvennyi teorii integro-differentsialnykh uravnenii [On some questions of the qualitative theory of integro-differential equations]. Research on integrodifferential equations in Kyrgyzstan.-Frunze, 3–54 (1961). (in Russian)

11. Imanaliev, M.I. Nelineinye integro-differentsialnye uravneniia s chastnymi proizvodnymi [Nonlinear integro-differential equaions with partial derivatives] (Bishkek: Ilim, 1992), 112. (in Russian)

12. Timoshin, S.A., Wang, Y. Periodic solutions of a population dynamics model with hysteresis. Nonlinear Analysis: Real World Applications, 77, 104050 (2024). https://doi.org/10.1016/j.nonrwa.2023.104050.

13. Veivoda, O. et al. Partial differential equations: Time – periodic solutions (Alphen aan den Rijn. Sijthoff: Noordhoff, 1981), 358.

14. Kadry, S., Alferov, G., Ivanov, G., Sharlay, A. Almost periodic solutions of first-order ordinary differential equations. Mathematics (MDPI), 6(9), 171 (2018). https://doi.org/10.3390/math6090171

15. Kharasakhal, V.Kh. Pochti-periodicheskie resheniia obyknovennykh differentsialnykh uravnenii [Almost periodic solutions of ordinary differential equations] (Alma-Ata: Nauka, 1970), 200. (in Russian)

16. Umbetzhanov, D.U. Pochti mnogoperiodicheskie resheniia differentsialnykh uravnenii v chastnykh proizvodnykh [Almost multiperiodic solution of partial Differential Equations] (Alma-Ata: Nauka, 1979), 211. (in Russian)

17. Umbetzhanov, D.U. Pochti periodicheskie resheniia evoliutsionnykh uravnenii [Almost periodic solutions of evolutionary equations] (Alma-Ata: Nauka, 1990), 184. (in Russian)

18. Sartabanov, Zh., Abdikalikova, G.A., Aitenova, G.M., Omarova, B.Zh, Zhumagaziyev, A.Kh. Implementation of the Small Parameter Method for Studying Multiperiodic Solutions of Systems with a Diagonal Differentiation Operator. Lobachevskii journal of mathematics, 45(12), 6594-6609 (2024).

19. Sartabanov, Zh.A. Implementation of small parameter method for the study of multiperiodic solutions of systems with a diagonal differentiation operator. VII Congress TWMS, Turkestan, 133 (2023).

20. Sartabanov, Zh.A. Periodichnost kharakteristik operatora differentsirovaniia po diagonali [Periodicity of characteristics of the diagonal differentiation operator]. Bulletin of KazNPU Abay, (2), 40–53 (2023). (in Russian)

21. Sartabanov, Zh.A., Aitenova, G.M., Abdikalikova, G.A. Multiperiodic solutions of quasilinear systems of integrodifferential equations with Dc-operator and ε-period of hereditarity. Eurasian Mathematical Journal, 13(1), 86–100 (2022).