ВАРИАЦИОННЫЙ ПОДХОД К ИДЕНТИФИКАЦИИ ПАРАМЕТРОВ СРЕДЫ ПОСРЕДСТВОМ ОБРАТНОГО АНАЛИЗА РАСПРОСТРАНЕНИЯ АКУСТИЧЕСКИХ ВОЛН

В статье представлен численный метод восстановления пространственного распределения скорости звука в неоднородных средах на основе обратного анализа распространения акустических волн. Математическая модель базируется на волновом уравнении второго порядка с переменными коэффициентами. Обратная задача сформулирована как задача оптимизации по минимизации функционала невязки между смоделированными и наблюдаемыми данными давления на границах области. Для эффективного вычисления градиента функционала применяется метод сопряженной (вспомогательной) задачи, выведенный с помощью вариационного исчисления. Численная реализация выполнена с использованием явной конечно-разностной схемы. Вычислительные эксперименты на одномерной модели гетерогенной среды (грунт – металл – грунт) показывают, что предложенный алгоритм позволяет достоверно восстанавливать профиль скорости, особенно в зонах резкого контраста. В работе проведен анализ чувствительности решения и скорости сходимости, показавший, что 500 итераций обеспечивают оптимальный баланс между точностью и вычислительными затратами.

1. Sinitsa, A.V., Tskhay, Yu.A., Ukassova, A.K., and Capsoni, A. Mathematical modeling of acoustic propagation through auralization techniques inside enclosers with variation of boundary conditions. Herald of the Kazakh-British Technical University, 20 (3), 51–60 (2023).

2. Korenbaum, V.I., Pochekutova, I.A., and Kostiv, A.E. Acoustic diagnostics of the human respiratory system based on objective analysis of respiratory sounds. Vestnik DVO RAN, 5, 65–74 (2004).

3. Tarantola, A. Inversion of seismic reflection data in the acoustic approximation. Geophysics, 49 (8), 1259–1266 (1984).

4. Das, R., Mishra, S.C., and Uppaluri, R. Inverse analysis applied to retrieval of parameters and reconstruction of temperature field in a transient conduction–radiation heat transfer problem. International Communications in Heat and Mass Transfer, 37 (1), 52–57 (2010).

5. Hadamard, J. Sur les problèmes aux dérivées partielles et leur signification physique. Princeton University Bulletin, 13, 49–52 (1902).

6. Tikhonov, A.N., and Arsenin, V.Y. Solutions of Ill-Posed Problems. Winston & Sons, Washington, 1977.

7. Lavrentiev, M.M., Romanov, V.G., and Shishat·skii, S.P. Ill-posed Problems of Mathematical Physics and Analysis. American Mathematical Society, 1986.

8. Romanov, V.G. Inverse Problems of Mathematical Physics. VNU Science Press, 1987.

9. Kabanikhin, S.I. Inverse and Ill-Posed Problems: Theory and Applications. De Gruyter, 2011.

10. Kabanikhin, S.I., Shishlenin, M.A., and Nurseitov, D.B. Numerical solving of the coefficient inverse problem for the wave equation. Eurasian Journal of Mathematical and Computer Applications, 2 (1), 48–63 (2014).

11. Baitureyeva, A., and Rysbaiuly, B. Inverse problem for determining the coefficient in the heat conduction equation. International Journal of Mathematics and Physics, 15 (2), 101–109 (2024).

12. Rysbaiuly, B., et al. Coefficient Inverse Problem for the Hyperbolic Equation of Thermal Conductivity in Two-Layer Soil. IEEE Access, 12, 115–125 (2024).

13. Karashbayeva, Zh., and Kabanikhin, S.I. Numerical solution of the inverse boundary value problem for the heat and moisture transfer equations. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 28 (4), 543–552 (2020).

14. Iskakov, K.T. Numerical solution of the inverse problem of restoring the parameters of a layered medium. Herald of the National Academy of Sciences of the Republic of Kazakhstan, 6, 25–32 (2015).

15. Bektemesov, M.A., Nurseitov, D.B., and Shaniyev, B.Sh. Parallel algorithm for solving the inverse problem of wave propagation. Journal of Inverse and Ill-Posed Problems, 26 (2), 235–244 (2018).

16. Plessix, R.-É. A review of the adjoint-state method for computing the gradient of a functional with geophysical applications. Geophysical Journal International, 167 (2), 495–503 (2006).

17. Virieux, J., and Operto, S. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics. Geophysics, 74 (6), WCC1–WCC26 (2009).

18. Nocedal, J., and Wright, S. Numerical Optimization. 2nd Edition, Springer, 2006.

19. Sinitsa, A.V., and Capsoni, A. Design of novel inverse analysis methodology for exact estimation of elasticity parameters in thermoelastic stress model. Applied Mathematical Modelling, 103, 106096 (2022).

20. Lions, J.-L. Optimal Control of Systems Governed by Partial Differential Equations. Springer-Verlag, 1971.

21. Courant, R., Friedrichs, K., and Lewy, H. Über die partiellen Differenzengleichungen der mathematischen Physik. Mathematische Annalen, 100, 32–74 (1928).

22. Clayton, R.W., and Engquist, B. Absorbing boundary conditions for acoustic and elastic wave equations. Bulletin of the Seismological Society of America, 67 (6), 1529–1540 (1977).

23. Gauthier, O., Virieux, J., and Tarantola, A. Two-dimensional nonlinear inversion of seismic waveforms: numerical results. Geophysics, 51 (7), 1387–1403 (1986).

24. Pratt, R.G. Gauss–Newton and full Newton methods in frequency–space seismic waveform inversion. Geophysical Journal International, 133 (2), 341–362 (1998).

25. Evans, L.C. Partial Differential Equations. American Mathematical Society, 2010.

26. Ladyzhenskaya, O.A. The Boundary Value Problems of Mathematical Physics. Nauka, 1973.

27. Crank, J. The Mathematics of Diffusion. Oxford University Press, 1975.

28. Tröltzsch, F. Optimal Control of Partial Differential Equations: Theory, Methods and Applications. American Mathematical Society, 2010.