О РЕШЕНИИ НАЧАЛЬНО–КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ НАГРУЖЕННОГО ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ЧЕТВЕРТОГО ПОРЯДКА

Рассматривается начально-краевая задача для дифференциального уравнения с n-нагрузкой, зависящего от двух переменных и содержащего частные производные четвертого порядка. Путем введения новой неизвестной функции исходная задача сводится к семейству задач Коши для нагруженного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. Для неизвестной функции cнагрузкамистроится система функциональных уравнений по переменной x. Предложен алгоритм нахождения решения этой системы функциональных уравнений. Доказана теорема о существовании единственного решения семейства задач Коши для нагруженного дифференциального уравнения с частными производными первого порядка. Установлены условия существования и единственности решения начально-краевой задачи для дифференциального уравнения с нагрузкой, содержащего частные производные четвертого порядка и зависящего от двух переменных. Результат проиллюстрирован примером.

1. Bishop R.E.D. Longitudinal waves in beams//Aeronaut. – 1952. – Q. 3(2). – P. 280 – 293 p.

2. Ptashnyck B.I. Ill-posed boundary value problems for partial differential equations. – Kiev: Naukova Dumka, 1984. – 265 p.

3. Нахушев А.М. Уравнения математической биологии. – М.: Высшая школа, 1995. – 305 c.

4. Demidenko G.V., Uspenskii S.V. Partial differential equations and systems not solvable with respect to the highest-order derivative// Pure and Appl.Math. – Marcel Dekker, New York, 1998 – 256 p.

5. Ptashnyk B.Yo., Il’kiv V.S., Kmit’ I.Ya., Polishchuk V.M. Nonlocal boundary value problems for partial differential equations. – Kyiv: Naukova Dumka, Ukraine, 2002. – 292 p.

6. Алгазин С.Д., Кийко И.А. Флаттер пластин и оболочек. – М.: Наука, 2006. – 245 с.

7. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнений в частных производных. – М.: Наука, 2006. – 287 с.

8. Нахушев А.М. Нагруженные уравнения и их применение. – М.: Наука, 2012. – 232 с.

9. Мамедов И.Г. Задача оптимального управления в процессах, описываемых нелокальной задачей с нагружениями для гиперболического интегро дифференциального уравнения // Известия Национальной академии наук Азердбайжана, серия ФТМН. – 2004. – Т. 24. – №2. – С. 74–79.

10. Midodashvili B. Generalized Goursat problem for a spatial fourth order hyperbolic equation with dominated low terms // Proc. of A. Razmadze Math. Insitute, – 2005. – Vol. 138. – P. 43–54.

11. Kiguradze T. On solvability and well – posedness of boundary value problems for nonlinear hyperbolic equations of the fourth order // Georgian Mathematical Journal. – 2008. – Vol. 15. – No. 3. – P. 555–569.

12. Liu Y., Li H. H1 – Galerkin mixed finite element for pseudo – hyperbolic equations// Applied Mathematics and Computation. – 2009. – Vol. 212 (2). – P. 446–457.

13. Mamedov I.G. A fundamental solution to the Cauchy problem for a fourth order pseudoparabolic equation // Comput. Math. Phys. – 2009. – Vol. 49 (1). – P. 93–104.

14. Guo H. Analysis of split weighted least–squares procedures for pseudohyperbolic equations // Applied Mathematics and Computation. – 2010. – Vol. 217 (8). – P. – 4109–4121.

15. Ferraioli D.C., Tenenblat K. Fourth order evolution equations which describe pseudospherical surfaces // J. Differtial Equations. – 2014. – Vol. 257. – P. 3165–3199. https://doi.org/10.1016/j.jde.2014.06.010.

16. Fedotov I., Shatalov M., Marais J. Hyperbolic and pseudohyperbolic equations in the theory of vibration // Acta Mech. – 2016. – Vol. 227(12). – P. 3315–3324.

17. Yuldashev T.K. Inverse problem for a nonlinear Benny – Luke type integro – differential equations with degenerate kernel// Russian Mathematics. – 2016. – Vol. 60. – No. 9.– P. 53–60.

18. Zhao Z., Li H. A continuous Galerkin method for pseudo – hyperbolic equations with variable coefficients // J. Math. Anal. and Appl. – 2019. – Vol. 473 (2). – P. 1053–1072.

19. Assanova A.T., Boichuk A.A., TokmurzinZh.S. On the initial – boundary value problem for system of the partial differential equations of fourth order // News of the NAS RK. Physico–Math. Ser. – 2019. – Vol. 323. – P. 14–21. https://doi.org/10.32014/2019.2518-1726.2.

20. Assanova A.T., Tokmurzin,Zh.S. On two – point initial boundary value problem for fourth order partial differential equations// Kazakh Mathematical Jounal. – 2019. – Vol. 19. – No. 3. – P. 66–78.

21. Assanova A.T., Tokmurzin,Zh.S. An approach to the solution of the initial boundary – value problem for systems of fourth – order hyperbolic equations // Mathematical Notes. – 2020. – Vol. 108. – No. 1. – P. 3–14.

22. Assanova A.T., TokmurzinZh.S. Boundary value problem for system of pseudo – hyperbolic equations of the fourth order with nonlocal condition // Russian Mathematics. – 2020. – Vol. 64. – No. 9. – P. 1–11.

23. Assanova A.T., Tokmurzin Zh.S. A nonlocal multipoint problem for a system of fourth – order partial differential equations// EurasianMathematical Journal. – 2020. – Vol. 11(3). – P. 8–20. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2020-11-08-20.

24. Assanova A.T., Tokmurzin,Zh.S. Method of functional parametrization equations // Bulletin of the Karaganda university – Series Mathematics. – 2020. – Vol. 100. – No. 4. – P. 5–16.

25. Assanova A.T., Imanchiyev A.E., Kadirbayeva Z.M. A nonlocal problem for ioaded partial differential equations of fourth order // Bulletin of the Karaganda university – Series Mathematics. – 2020. – Vol. 97. – No. 1. – P. 6–16. https://doi.org/10.31489/2020M1/6-16.

26. Абдикаликова Г.А., Асанова А.Т., Шекербекова Ш.Т. О нелокальной задаче для нагруженных гиперболических уравнений четвертого порядка // Известия вузов. Математика. – 2022. – № 8. – С. 3–23.

27. Assanova A.T., Kadirbaev Zh.M., Bakirova E.A. On the unique solvability of a nonlocal boundary – value problem for systems of loaded hyperbolic equations with impulsive actions // Ukrainian Mathematical Journal. – 2018. – Vol. 69(8). – P. 1175 –1195. https://doi.org/101007/s11253-017-1424-5.

28. Assanova A.T., Kadirbayeva Zh.M. Periodic problem for an impulsive system of the loaded hyperbolic equations // Electronic Journal of Differential Equations. – 2018. – Vol. 72. – P. 1– 8.

29. Assanova A.T., Imanchiyev A.E., Kadirbayeva Zh.M. Numerical solution of systems of loaded ordinary differential equations with multipoint conditions // Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 2018. – Vol. 58(4) – P. 508–516. https://doi.org/10.1134/s096554251804005X.

30. Assanova A.T., Kadirbayeva Zh.M. On the numerical algorithms of parametrization method for solving a two – point boundary – value problem for impulsive systems of loaded differential equations // Computational and Applied Mathematics. – 2018. – Vol. 37(4). – P. 4966–4976. https://doi.org/10.1007/s40314-018-0611-9.