АСИМПТОТИЧЕСКАЯ СХОДИМОСТЬ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ ИНТЕГРО–ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ С МАЛЫМ ПАРАМЕТРОМ

В теории уравнений с малыми параметрами задача Коши в точке 0, где характеристическое уравнение, построенное в соответствии с однородной частью рассматриваемого линейного интегро-дифференциального уравнения, имеет положительные и отрицательные корни, а также порядок производной интеграла до 2, ранее не рассматривалась. Известно, что при противоположных корнях характеристического уравнения решение задачи рискует склониться к бесконечности. Например, решение задачи Коши для дифференциального уравнения с малым параметром перед двумя большими производными остается неопределенным, когда корни характеристического уравнения противоположны, и если добавим интегральную часть к правой части дифференциального уравнения и будем рассматривать ее как интегро-дифференциальное уравнение, мы можем получить аналитическую формулу решения. В данной работе была построена невозмущенная задача для заданной возмущенной задачи с малым параметром. В невозмущенной задаче порядок внешнего дифференциального оператора меньше, чем порядок внутреннего оператора. Такой тип задачи относится к нестандартным случаям и требует дополнительного изучения. В связи с этим была получена аналитическая формула решения невозмущенной задачи и проведены дополнительные исследования. При этом установлена связь между возмущенной и невозмущенной задачами, что подтверждается соответствующим примером. Сформулирована и изложена теорема предельного перехода.

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. – 1948. – Т. 22. – Вып. 2. – С. 193–204.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. – Москва: Наука, 1973.

3. Kassymov K.A., Dauylbayev M.K. Estimates of solutions of the Cauchy problem with an arbitraryorder initial jump for linear singularly perturbed integro-differential equations // Differential Equations. – 1999. – P. 822–830.

4. Nurgabyl D. Asymptotic estimates for the Solution of a Restoration Problem with Initial Jump // Journal of Applied Mathematics. – 2014. – P. 956402.

5. Dauylbayev M.K. The asymptotic behavior of solutions to singularly perturbed nonlinear integrodifferential equations // Siberian Mathematical Journal. – 2000. – 41(1). – P. 49–60.

6. Bobodzhanova M.A., Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Singularly perturbed integro differential equations with degenerate Hammerstein’s kernel // Bulletin of the Karaganda University. – Mathematics Series. – 2024. – 4(116). – P. 57–68. https://doi.org/10.31489/2024M4/57-68.

7. Kellogg R.B., Stynes M. A singularly perturbed convection-diffusion problem in a half-plane // Appl. Anal. – 2006. – 85(12). – P. 1471–1485. http://dx.doi.org/10.1080/00036810601066574.

8. Oljira A.F., Woldaregay M.M. A fitted operator numerical method for singularly perturbed Fredgolm integro-differential equation with integral initial condition. // BMC Research Notes. – 2024. – 17(1). – P. 23. http://dx.doi.org/10/1186/s13104-023-06649-9.

9. Durmaz M.E., Cakir M., Amirali I., Amiraliyev G.M. Numerical solution of singularly perturbed Fredgolm integro-differential equations by homogeneous second order difference method // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2024. – 412(1). – P. 114327. https://doi.org/10.1016/j.cam.2022.114327.

10. Rathore A.S., Shanthi V. A numerical solution of singularly perturbed Fredholm integro-differential equation with discontinuous source term // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2024. – P 446, 115858. https://doi.org/10.1016/j.cam.2024.115858.

11. Panda A., Mohapatra J., Amirali I., Durmaz M.E., Amiraliyev G.M. A numerical technique for solving nonlinear singularly perturbed Fredholm integro-differential equations // Mathematics and Computers in Simulation. – 2024. – 220. – P. 618–629. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2024.02.011.

12. Srinivas E., Phaneendra K. A Novel Numerical Scheme for a Class of Singularly Perturbed Differential-Difference Equations with a Fixed Large Delay // Bulletin of the Karaganda University. – Mathematics Series. – 2024. – 1(113). – P. 194–207. https://doi.org/10.31489/2024M1/194-207.

13. Bukanay N.U., Mirzakulova A.E., Assanova A.T. Asymptotic estimations of the solution for singularly perturbed Cauchy problem // Bulletin of the Karaganda University. – 2025. – Mathematics Series. – No. 2(118). – P. 44–51. https://doi.org/10.31489/2025M2/44-51.