докторант
г. Алматы
PhD student
Almaty
PhD, ассоцированный профессор
г. Алматы
PhD, Associate Professor
Almaty
ф.-м.ғ.д., профессор
г. Алматы
Dr. Phys.-Math. Sc., Professor
Almaty
В теории уравнений с малыми параметрами задача Коши в точке 0, где характеристическое уравнение, построенное в соответствии с однородной частью рассматриваемого линейного интегро-дифференциального уравнения, имеет положительные и отрицательные корни, а также порядок производной интеграла до 2, ранее не рассматривалась. Известно, что при противоположных корнях характеристического уравнения решение задачи рискует склониться к бесконечности. Например, решение задачи Коши для дифференциального уравнения с малым параметром перед двумя большими производными остается неопределенным, когда корни характеристического уравнения противоположны, и если добавим интегральную часть к правой части дифференциального уравнения и будем рассматривать ее как интегро-дифференциальное уравнение, мы можем получить аналитическую формулу решения. В данной работе была построена невозмущенная задача для заданной возмущенной задачи с малым параметром. В невозмущенной задаче порядок внешнего дифференциального оператора меньше, чем порядок внутреннего оператора. Такой тип задачи относится к нестандартным случаям и требует дополнительного изучения. В связи с этим была получена аналитическая формула решения невозмущенной задачи и проведены дополнительные исследования. При этом установлена связь между возмущенной и невозмущенной задачами, что подтверждается соответствующим примером. Сформулирована и изложена теорема предельного перехода.
The Cauchy problem at point 0, where the characteristic equation built according to the homogeneous part of the linear integro-differential equation under consideration has both positive and negative roots, and the order of the derivative of the integral uo to 2, has never been examined before in the theory of equations with small parameters. It is well known that the problem’s solution may veer towards infinity when the characteristic equation’s roots are opposite. The Cauchy problem for a differential equation with a small parameter in front of two higherorder derivatives is still uncertain when the roots of the characteristic equation are opposite. This can be solved analytically by adding the integral part to the right-hand side of the differential equation and treating it as an integrodifferential equation. In this paper, an unperturbed problem is constructed for a given perturbed problem with a small parameter. In the unperturbed problem the external differential operator is one order lower than the internal differential operator. This is a non-standard case and requires special consideration. In this regard, an analytical formula for the solution of the unperturbed problem is obtained, and further analysis is carried out. Moreover, the interrelation between the perturbed and unperturbed problems was established and illustrated by an example. The theorem on the limiting transition was also formulated.
The authors declare that there are no conflicts of interest present.