КІШІ ПАРАМЕТРЛІ ИНТЕГРО-ДИФФЕРЕНЦИАЛДЫҚ ТЕҢДЕУ ҮШІН КОШИ ЕСЕБІ ШЕШІМІНІҢ АСИМПТОТИКАЛЫҚ ЖИНАҚТЫЛЫҒЫ

Кіші параметрлі теңдеулер теориясында қарастырылатын сызықты интегро-дифференциалдық теңдеудің біртекті бөлігіне сәйкес құрылатын сипаттаушы теңдеу түбірлері қарама-қарсы таңбалы болатын, сонымен қатар интеграл астындағы туындының реті екіге дейін жететін нөл нүктесіндегі Коши есебі бұрын қарастырылмаған. Сипаттаушы теңдеу түбірлері қарама-қарсы болған жағдайда, есеп шешімінің шексіздікке ұмтылып кету қаупі бар екені мәлім. Мысалы, үлкен екі туындысының алдында кіші параметрі бар сипаттаушы теңдеу түбірі оң және теріс болғанда, кіші параметрлі дифференциалдық теңдеуге арналған Коши есебінің шешімі анықталмай қалады. Ал егер дифференциалдық теңдеудің оң жағына интегралдық бөлікті қосып, оны интегро-дифференциалдық теңдеу түрінде қарастырсақ, есеп шешімінің аналитикалық формуласын алуға болады. Бұл жұмыста берілген кіші параметрлі есепке сәйкес ауытқымаған есеп құрылған. Ауытқымаған есепте сыртқы дифференциалдық оператордың реті ішкі оператордың ретінен бірге кем. Есептің бұл түрі стандартты емес жағдайға жатады және қосымша зерттеуді талап етеді. Соған орай, ауытқымаған есепке қатысты қосымша зерттеулер жүргізіліп, оның шешімінің аналитикалық формуласы алынды. Сонымен қатар кіші параметрлі ауытқыған есеп пен ауытқымаған есеп арасындағы байланыс орнатылып, нақты мысалмен негізделген. Шектік ауысу теоремасы тұжырымдалып, ұсынылды.

1. Тихонов А.Н. О зависимости решений дифференциальных уравнений от малого параметра // Матем. сб. – 1948. – Т. 22. – Вып. 2. – С. 193–204.

2. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. – Москва: Наука, 1973.

3. Kassymov K.A., Dauylbayev M.K. Estimates of solutions of the Cauchy problem with an arbitraryorder initial jump for linear singularly perturbed integro-differential equations // Differential Equations. – 1999. – P. 822–830.

4. Nurgabyl D. Asymptotic estimates for the Solution of a Restoration Problem with Initial Jump // Journal of Applied Mathematics. – 2014. – P. 956402.

5. Dauylbayev M.K. The asymptotic behavior of solutions to singularly perturbed nonlinear integrodifferential equations // Siberian Mathematical Journal. – 2000. – 41(1). – P. 49–60.

6. Bobodzhanova M.A., Kalimbetov B.T., Safonov V.F. Singularly perturbed integro differential equations with degenerate Hammerstein’s kernel // Bulletin of the Karaganda University. – Mathematics Series. – 2024. – 4(116). – P. 57–68. https://doi.org/10.31489/2024M4/57-68.

7. Kellogg R.B., Stynes M. A singularly perturbed convection-diffusion problem in a half-plane // Appl. Anal. – 2006. – 85(12). – P. 1471–1485. http://dx.doi.org/10.1080/00036810601066574.

8. Oljira A.F., Woldaregay M.M. A fitted operator numerical method for singularly perturbed Fredgolm integro-differential equation with integral initial condition. // BMC Research Notes. – 2024. – 17(1). – P. 23. http://dx.doi.org/10/1186/s13104-023-06649-9.

9. Durmaz M.E., Cakir M., Amirali I., Amiraliyev G.M. Numerical solution of singularly perturbed Fredgolm integro-differential equations by homogeneous second order difference method // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2024. – 412(1). – P. 114327. https://doi.org/10.1016/j.cam.2022.114327.

10. Rathore A.S., Shanthi V. A numerical solution of singularly perturbed Fredholm integro-differential equation with discontinuous source term // Journal of Computational and Applied Mathematics. – 2024. – P 446, 115858. https://doi.org/10.1016/j.cam.2024.115858.

11. Panda A., Mohapatra J., Amirali I., Durmaz M.E., Amiraliyev G.M. A numerical technique for solving nonlinear singularly perturbed Fredholm integro-differential equations // Mathematics and Computers in Simulation. – 2024. – 220. – P. 618–629. https://doi.org/10.1016/j.matcom.2024.02.011.

12. Srinivas E., Phaneendra K. A Novel Numerical Scheme for a Class of Singularly Perturbed Differential-Difference Equations with a Fixed Large Delay // Bulletin of the Karaganda University. – Mathematics Series. – 2024. – 1(113). – P. 194–207. https://doi.org/10.31489/2024M1/194-207.

13. Bukanay N.U., Mirzakulova A.E., Assanova A.T. Asymptotic estimations of the solution for singularly perturbed Cauchy problem // Bulletin of the Karaganda University. – 2025. – Mathematics Series. – No. 2(118). – P. 44–51. https://doi.org/10.31489/2025M2/44-51.