УСРЕДНЕНИЕ АТТРАКТОРОВ УРАВНЕНИЙ ЧЭФИ-ИНФАНТЕ В ПЕРФОРИРОВАННОЙ ОБЛАСТИ

В данной работе рассматривается задача усреднения уравнения Чэфи-Инфанте в микронеоднородной среде. В ходе исследования подробно анализируются уравнения Чэфи-Инфанте с быстро осциллирующими членами и диссипацией. В модель вводится+ малый параметр, и в зависимости от его предельных значений формулируется усредненная (предельная) задача. Доказывается, что траекторные аттракторы исходного уравнения сходятся к аттракторам усредненного уравнения, и формулируется соответствующая теорема. Кроме того, показано, что при условиях единственности решений имеет место сходимость глобальных аттракторов, что достигается при наложении дополнительных условий на нелинейные члены. В работе также изучаются сингулярные задачи с нетривиальными граничными условиями в перфорированных областях и на границах их полостей. В этом случае получаемое усредненное (предельное) уравнение имеет иную структуру по сравнению с исходным. Оно отражает эффективные средние характеристики модели и может включать дополнительный потенциальный член. Доказано, что при стремлении малого параметра к нулю аттракторы сходятся в смысле Хаусдорфа. В качестве основного результата описаны усредненные аттракторы и показано, что аттракторы исходной системы стремятся к аттракторам предельного уравнения. В данной работе впервые рассматривается задача усреднения уравнений Чафе–Инфанте в периодически перфорированной среде, обосновываются научная новизна и актуальность полученных результатов. Данное исследование вносит вклад в развитие методов теории усреднения дифференциальных операторов и может найти применение при изучении решений нелинейных дифференциальных уравнений.

1. Bekmaganbetov, K.A., Chechkin, G.A., Chepyzhov, V.V. Attractors and a 'strange term' in homogenized equation. C R Mec., 348(5), 351–359 (2020). https://doi.org/10.5802/crmeca.15

2. Bekmaganbetov, K.A., Chechkin, G.A., Chepyzhov, V.V. 'Strange term' in homogenization of attractors of reaction-diffusion equation in perforated domain. Chaos Solit Fractals., 140, Article ID 110208 (2020). https://doi.org/10.1016/j.chaos.2020.110208

3. Belyaev, A.G., Piatnitski, A.L., Chechkin, G.A. Asymptotic behavior of solution for boundary-value problem in a perforated domain with oscillating boundary. Sib Math J., 39(4), 730–754 (1998). https://doi.org/10.1007/BF02677919

4. Cioranescu, D., Murat, F. Un terme étrange venu d'ailleurs I & II. In: Berzis H, Lions JL, editors. Nonlinear Partial Differential Equations and their Applications. Collège de France Seminar, Volume II & III. Research Notes in Mathematics, 60 & 70, London: Pitman; 1982, pp. 98–138 & 154–178.

5. Marchenko, V.A., Khruslov, E.Y. Boundary value problems in domains with fine-grain boundary. Kiev: Naukova Dumka, 1974.

6. Chechkin, G.A., Piatnitski, A.L., Shamaev, A.S. Homogenization: methods and applications. Providence (RI): American Mathematical Society, 2007. ISBN: 978-0-8218-4309-6

7. Jikov, V.V., Kozlov, S.M., Oleinik, O.A. Homogenization of differential operators and integral functionals. Berlin: Springer, 1994. https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-642-84659-5

8. Sanchez-Palencia, É. Homogenization techniques for composite media. Berlin: Springer, 1987. https://doi.org/10.1007/3-540-17616-0

9. Babin, A.V., Vishik, M.I. Attractors of evolution equations. Amsterdam: Elsevier, 1992. https://doi.org/10.1016/S0168-2024(08)70270-4

10. Chepyzhov, V.V., Vishik, M.I. Attractors for equations of mathematical physics. Providence (RI): American Mathematical Society, 2002. https://doi.org/10.1051/cocv:2002056

11. Temam, R. Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. New York (NY): Springer, 1988. (Applied Mathematics Series; 68). https://doi.org/10.1007/978-1-4684-0313-8

12. Efendiev, M., Zelik, S. Attractors of the reaction-diffusion systems with rapidly oscillating coefficients and their homogenization. Ann Inst H Poincaré Anal Non Linéaire, 19, 961–989 (2002). https://doi.org/10.1016/S0294-1449(02)00115-4

13. Ilyin, A.A. Averaging principle for dissipative dynamical systems with rapidly oscillating right-hand sides. Sb Math., 187, 635–677 (1996). https://doi.org/10.1070/SM1996v187n05ABEH000126

14. Chechkin, G.A., Chepyzhov, V.V., Pankratov, L.S. Homogenization of trajectory attractors of Ginzburg-Landau equations with randomly oscillating terms. Discrete Continuous Dyn Syst Ser B., 23(3), 1133–1154 (2018). https://doi.org/10.3934/dcdsb.2018145

15. Belyaev, A.G., Piatnitski, A.L., Chechkin, G.A. Averaging in a perforated domain with an oscillating third boundary condition. Sb Math.,192(7), 933–949 (2001). https://doi.org/10.1070/SM2001v192n07ABEH000576

16. Lions, J-L. Quelques méthodes de résolutions des problèmes aux limites non linéaires. Paris: Dunod, GauthierVillars, 1969. https://www.scribd.com/document/482201537/96314508

17. Diaz, J.I., Gomez-Castro, D., Shaposhnikova, T.A., et al. Classification of homogenized limits of diffusion problems with spatially dependent reaction over critical-size particles. Appl Anal., 98(1–2), 232–255 (2018). https://doi.org/10.1080/00036811.2018.1441997

18. Chechkin, G.A., Piatnitski, A.L. Homogenization of boundary-value problem in a locally periodic perforated domain. Appl Anal., 71(1–4), 215–235 (1999). https://doi.org/10.1080/00036819908840714

19. Chepyzhov, V.V., Vishik, M.I. Trajectory attractors for reaction-diffusion systems. Top Meth Nonlinear Anal J Julius Schauder Center., 7(1), 49–76 (1996). https://doi.org/10.12775/TMNA.1996.002

20. Chepyzhov, V.V., Goritsky, A.Y., Vishik, M.I. Integral manifolds and attractors with exponential rate for nonautonomous hyperbolic equations with dissipation. Russ J Math Phys., 12, 17–39 (2005).

21. Chepyzhov, V.V., Vishik, M.I., Wendland, W.L. On non-autonomous sine-Gordon type equations with a simple global attractor and some averaging. Discrete Contin Dyn Syst., 12, 27–38 (2005). https://doi.org/10.3934/dcds.2005.12.27

22. Vishik, M.I., Chepyzhov, V.V. Approximation of trajectories lying on a global attractor of a hyperbolic equation with an exterior force that oscillates rapidly over time. Sb Math., 194, 1273–1300 (2003). https://doi.org/10.1070/SM2003v194n09ABEH000765

23. Chueshov, I., Schmalfuß, B. Averaging of Attractors and Inertial Manifolds for Parabolic PDEs with Random Coefficients. Applied Mathematics and Optimization, 2005 (5), 461–492, 10.1515/ans-2005-0402

24. Carvalho, A.N., Langa, J.A., Robinson, J.C. Attractors for Infinite-Dimensional Non-Autonomous Dynamical Systems. Springer, 2013. V. 182. https://doi.org/10.1007/978-1-4614-4581-4

25. Solonnikov, V.A. On the boundary-value problems for linear parabolic systems of differential equations of the general type.Trudi MIAN. 1965. V.83.