СОБОЛЕВ КЕҢІСТІКТЕРІ ҮШІН БАСЫМ АРАЛАС ТУЫНДЫСЫ БАР ҚАЛПЫНА КЕЛТІРЕТІН ФУНКЦИЯ

Сызықтық аппроксимация – бұл белгілі бір кластағы функцияны осы кластың бекітілген ақырлы өлшемді ішкі кеңістігінің элементтерімен жуықтау. Мысалы, бір айнымалылы периодты функциялар үшін мұндай элементтер ретінде тригонометриялық көпмүшелер алынады. Бізді қызықтыратын көпөлшемді жағдайда, яғни әр айнымалы бойынша периодты функциялар үшін, аталған ішкі кеңістік рөлін жиілігі баспалдақты гиперболалық крестен тұратын тригонометриялық көпмүшелер жиыны атқарады. Дегенмен, бұл көпмүшелердің коэффициенттерін таңдау мәселесі туындайды. Бұл мақалада берілген нүктелер бойынша басым аралас туындысы бар Соболев кеңістігіндегі функцияларды қалпына келтіру аппараты ұсынылып, қалпына келтіру қателігіне бағалаулар алынды. Әдіс қалпына келтіруші функцияны жиілігі баспалдақты гиперболалық креске жататын, ал коэффициенттері берілген нүктелер арқылы есептелетін көпмүше түрінде құруға негізделген. Жуықтау қателігінің реті ортогональ көлденеңмен шамалас, бұл – мұндай көпмүшелер үшін оңтайлы нәтиже. Ұсынылған әдіс жиілігі баспалдақты гиперболалық креске жататын көпмүшелер үшін дәл нәтиже береді. Сондай-ақ, аталған кеңістіктердегі функциялардың Фурье коэффициенттерін қалпына келтіретін функционал алынған. Қалпына келтіру функциясының нақты өрнегінің арқасында алынған формуланы қолданбалы есептерді шешуде пайдалануға болады.

1. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. – 1986. – Т. 178. – С. 3–113.

2. Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1982. – Т. 267. – № 2. – С. 314–317.

3. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1985. – Т. 49, №5. – С. 986–1030. https://doi.org/10.1070/IM1986v027n02ABEH001179.

4. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций. – Тр. МИАН СССР –1989. – Т. 189. – С. 138–168.

5. Темляков В.Н. Об оценках ε-энтропии и поперечников классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Докл. АН СССР. – 1988. – Т. 301. – С. 288–291.

6. Галеев Э.М., Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Матем. заметки. – 1978. –Т. 23. – № 2. – С. 197–212. https://doi.org/10.1007/BF01153149.

7. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. матем. журн. – 1974. – Т. 15. – № 2. – С. 395–412. https://doi.org/10.1007/ BF00968291.

8. Byrenheid G. and Ullrich T. Optimal sampling recovery of mixed order Sobolev embeddings via discrete Littlewood–Paley type characterizations // Anal Math. – 2017. – Vol. 43. – P. 133–191. https://doi.org/10.1007/s10476-017-0303-5.

9. Dinh Dung and Ullrich T. Lower bounds for the integration error for multivariate functions with mixed smoothness and optimal Fibonacci cubature for functions on the square // Math. Nachr. – 2015. – Vol. 288. – P. 743–762. https://doi.org/10.1002/mana.201400048.

10. Krieg D. et al. Sampling recovery in $ L_2 $ and other norms // arXiv preprint arXiv:2305.07539. – 2023.

11. Kolomoitsev Y., Lomako T. and Tikhonov S., Sparse grid approximation in weighted Wiener spaces // J. Fourier Anal. Appl. – 2023. – Vol. 29. – No. 2. – P. 19. https://doi.org/10.1007/s00041-023-09994-2.

12. Byrenheid G., Sparse representation of multivariate functions based on discrete point evaluations : Diss. – Universitäts-und Landesbibliothek Bonn, 2019.

13. Kolomoitsev Y. Approximation by quasi-interpolation operators and Smolyak's algorithm // J. Complexity. – 2022. – Vol. 69. – P. 101601. https://doi.org/10.1016/j.jco.2021.101601.

14. Dinh Dung B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness // J. Complexity. – 2011. – Vol. 27. – P. 541–467. https://doi.org/10.1016/j.jco.2011.02.004.

15. Triebel H. Bases in function spaces, sampling, discrepancy, numerical integration, European Math. Soc. Publishing House, Zürich, 2010.

16. Krieg D. and Ullrich M. Function values are enough for L 2-approximation // Found. Comput. Math. – 2021. – Vol. 21. – No. 4. – P. 1141–1151. https://doi.org/10.1007/s10208-020-09481-w.

17. Нурсултанов Е.Д., Тлеуханова Н.Т. О восстановлении мультипликативных преобразований функций из анизотропных пространств // Сибирский математический журнал. – 2014. – Т. 55. – № 3. – С. 592-609. https://doi.org/10.1134/S0037446614030100.

18. Dũng D., Temlyakov V., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. – Springer, 2018.

19. Нурсултанов Е.Д. О мультипликаторах рядов Фурье по тригонометрической системе // Математические заметки. – 1998. – Т. 63. – № 2. – С. 235–247. https://doi.org/10.4213/mzm1270.

20. Bassarov S., Nursultanov E. New Cubature Formulas for Sobolev Spaces with Dominant Mixed Derivative // J. Math. Sci. – 2025. – Vol. 291. – P. 4–19. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07774-5.

21. Dick J., Kritzer P., Pillichshammer F. Lattice rules. – Springer, Cham, 2022. https://doi.org/10.1007/9783-031-09951-9.

22. Plonka G. et al. Numerical fourier analysis. – New York : Springer International Publishing, 2018. https://doi.org/10.1007/978-3-031-35005-4

23. Bartel F. et al. On the reconstruction of functions from values at subsampled quadrature points // Math. Comput. – 2024. – Vol. 93. – № 346. – P 785–809.

24. Sickel W., Ullrich T. Smolyak's algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of dominating mixed smoothness. – Univ., 2006.