kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-4-313-323kaz29-2303Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА С ДОМИНИРУЮЩЕЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙRECOVERY FUNCTION FOR SOBOLEV SPACES WITH DOMINATING MIXED DERIVATIVEhttps://orcid.org/0000-0001-5422-2424БасаровС. Ж.BassarovS. Zh.

магистр, м.н.с.

г. Астана

MSc., j.r.a.

Astana

bassarov.serzhan98@gmail.comhttps://orcid.org/0000-0003-3879-2261НурсултановЕ. Д.NursultanovE. D.

д.ф.-м.н., профессор

г. Астана

Dr. Phys.-Math. Sc., Professor

Astana

er-nurs@yandex.kzТОО «Geometry»Казахстан«Geometry» LLPKazakhstanКазахстанский филиал Московского государственного университета им. М.В. ЛомоносоваКазахстанKazakhstan Branch of M. V. Lomonosov Moscow State University BranchKazakhstan202523122025224313323Copyright © Басаров С.Ж., Нурсултанов Е.Д., 20252025Басаров С.Ж., Нурсултанов Е.Д.Bassarov S.Z., Nursultanov E.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/2303

Линейная аппроксимация – это приближение функции из некоторого класса элементами фиксированного конечного подпространства этого же класса. Например, для одномерных периодических функций такими элементами служат тригонометрические полиномы. В интересующем нас многомерном случае для функций, периодических по каждой переменной, в качестве такого подпространства выступает множество тригонометрических полиномов со спектром из ступенчатого гиперболического креста. При этом возникает вопрос выбора коэффициентов для этих полиномов. В данной статье представлен аппарат, восстанавливающий функции из пространств Соболева с доминирующей смешанной производной по заданным точкам и получены оценки погрешности восстановления. Метод основан на построении восстанавливающей функции в виде полинома со спектром из ступенчатого гиперболического креста, коэффициенты которого вычисляются по заданным точкам. Погрешность приближения имеет порядок ортопоперечника, что является оптимальным результатом для таких полиномов. Предложенный метод точен для полиномов со спектром из ступенчатого гиперболического креста. Также получен функционал, восстанавливающий коэффициенты Фурье для функций из указанных пространств. Благодаря явному выражению восстанавливающей функции полученная формула может быть использована для решения прикладных задач.

Linear approximation is the approximation of a function from a certain class by elements of a fixed finitedimensional subspace of that same class. For instance, for one-dimensional periodic functions, such elements are trigonometric polynomials. In the multidimensional case of interest, for functions periodic in each variable, this subspace is the set of trigonometric polynomials with a spectrum from a step hyperbolic cross. However, the question of selecting coefficients for these polynomials arises. This paper presents an apparatus for recovering functions from Sobolev spaces with a dominating mixed derivative based on given points, and establishes error estimates for the recovery. The method is based on constructing a recovery function in the form of a polynomial with a spectrum from a step hyperbolic cross, where the coefficients are calculated using the given points. The approximation error is of the order of the orthowidth, which is an optimal result for such polynomials. The proposed method is exact for polynomials with a spectrum from a step hyperbolic cross. Additionally, a functional that recovers the Fourier coefficients for functions from the indicated spaces is derived. Due to the explicit expression of the recovery function, the obtained formula can be used to solve applied problems.

много переменныхтеория функцийпространство Соболевамешанная производнаягиперболический крестmultiple dimensionfunction theorySobolev spacesmixed derivativehyperbolic crossДанная статья финансирована Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (грант №AP 23488613).ReferencesТемляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. – 1986. – Т. 178. – С. 3–113.Temlyakov, V.N. Approximations of functions with bounded mixed derivative, Proc. Steklov Inst. Math., 178, 3–113 (1986).Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1982. – Т. 267. – № 2. – С. 314–317.Temlyakov, V.N. Widths of some classes of functions of several variables, Soviet Math Dokl., 267(2), 314–317 (1982).Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1985. – Т. 49, №5. – С. 986–1030. https://doi.org/10.1070/IM1986v027n02ABEH001179.Temlyakov, V.N. Approximation of periodic functions of several variables by trigonometric polynomials, and widths of some classes of functions, Math. USSR-Izv., 49(5), 986–1030 (1985). https://doi.org/10.1070/IM1986v027n02ABEH001179.Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций. – Тр. МИАН СССР –1989. – Т. 189. – С. 138–168.Temlyakov, V.N. Estimates for the asymptotic characteristics of classes of functions with bounded mixed derivative or difference, Proc. Steklov Inst. Math., 189, 138–168 (1989).Темляков В.Н. Об оценках ε-энтропии и поперечников классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Докл. АН СССР. – 1988. – Т. 301. – С. 288–291.Temlyakov, V.N. On Estimates of ε-Entropy and Widths of Classes of Functions with Bounded Mixed Derivative or Difference, Soviet Math. Dokl., 301, 288–291 (1988).Галеев Э.М., Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Матем. заметки. – 1978. –Т. 23. – № 2. – С. 197–212. https://doi.org/10.1007/BF01153149.Galeev, A.М., Approximation by Fourier sums of classes of functions with several bounded derivatives, Math. Notes, 23(2), 109–117 (1978), ). https://doi.org/10.1007/BF01153149. (in Russian).Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. матем. журн. – 1974. – Т. 15. – № 2. – С. 395–412. https://doi.org/10.1007/ BF00968291.Nikolskaya, N.S. Approximation of differentiable functions of several variables by Fourier sums in the Lp metric. Siberian Math. J.,15 (2), 282–295 (1974). https://doi.org/10.1007/BF00968291. (in Russian).Byrenheid G. and Ullrich T. Optimal sampling recovery of mixed order Sobolev embeddings via discrete Littlewood–Paley type characterizations // Anal Math. – 2017. – Vol. 43. – P. 133–191. https://doi.org/10.1007/s10476-017-0303-5.Byrenheid, G. and Ullrich, T. Optimal sampling recovery of mixed order Sobolev embeddings via discrete Littlewood–Paley type characterizations, Anal Math., 43, 133–191 (2017). https://doi.org/10.1007/s10476-017-0303-5Dinh Dung and Ullrich T. Lower bounds for the integration error for multivariate functions with mixed smoothness and optimal Fibonacci cubature for functions on the square // Math. Nachr. – 2015. – Vol. 288. – P. 743–762. https://doi.org/10.1002/mana.201400048.Dinh Dung and Ullrich T., Lower bounds for the integration error for multivariate functions with mixed smoothness and optimal Fibonacci cubature for functions on the square, Math. Nachr., 288, 743–762 (2015). https://doi.org/10.1002/mana.201400048.Krieg D. et al. Sampling recovery in $ L_2 $ and other norms // arXiv preprint arXiv:2305.07539. – 2023.Krieg, D. et al. Sampling recovery in $ L_2 $ and other norms, arXiv preprint arXiv:2305.07539, 2023.Kolomoitsev Y., Lomako T. and Tikhonov S., Sparse grid approximation in weighted Wiener spaces // J. Fourier Anal. Appl. – 2023. – Vol. 29. – No. 2. – P. 19. https://doi.org/10.1007/s00041-023-09994-2.Kolomoitsev, Y., Lomako, T. and Tikhonov, S. Sparse grid approximation in weighted Wiener spaces, J. Fourier Anal. Appl., 29 (2), 1–19 (2023). https://doi.org/10.1007/s00041-023-09994-2.Byrenheid G., Sparse representation of multivariate functions based on discrete point evaluations : Diss. – Universitäts-und Landesbibliothek Bonn, 2019.Byrenheid, G., Sparse Representation of Multivariate Functions Based on Discrete Point Evaluations, Universitäts-und Landesbibliothek Bonn, 2019.Kolomoitsev Y. Approximation by quasi-interpolation operators and Smolyak's algorithm // J. Complexity. – 2022. – Vol. 69. – P. 101601. https://doi.org/10.1016/j.jco.2021.101601.Kolomoitsev, Y. Approximation by quasi-interpolation operators and Smolyak's algorithm, J. Complexity, 69, 101601 (2022). https://doi.org/10.1016/j.jco.2021.101601.Dinh Dung B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness // J. Complexity. – 2011. – Vol. 27. – P. 541–467. https://doi.org/10.1016/j.jco.2011.02.004.Dinh Dung B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness, J. Complexity, 27, 541–467 (2011). https://doi.org/10.1016/j.jco.2011.02.004.Triebel H. Bases in function spaces, sampling, discrepancy, numerical integration, European Math. Soc. Publishing House, Zürich, 2010.Triebel, H. Bases in Function Spaces, Sampling, Discrepancy, Numerical Integration, European Math. Soc. Publishing House, Zürich, 2010.Krieg D. and Ullrich M. Function values are enough for L 2-approximation // Found. Comput. Math. – 2021. – Vol. 21. – No. 4. – P. 1141–1151. https://doi.org/10.1007/s10208-020-09481-w.Krieg, D. and Ullrich, M. Function values are enough for L 2-approximation Found. Comput. Math., 21(4), 1141–1151 (2021). https://doi.org/10.1007/s10208-020-09481-w.Нурсултанов Е.Д., Тлеуханова Н.Т. О восстановлении мультипликативных преобразований функций из анизотропных пространств // Сибирский математический журнал. – 2014. – Т. 55. – № 3. – С. 592-609. https://doi.org/10.1134/S0037446614030100.Nursultanov, E.D., Tleukhanova, N.T. On the reconstruction of multiplicative transformations of functions from anisotropic spaces, Siberian Math. J., 55(3), 482–497 (2014). https://doi.org/10.1134/S0037446614030100 (in Russian).Dũng D., Temlyakov V., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. – Springer, 2018.Dũng, D., Temlyakov, V., Ullrich, T. Hyperbolic Cross Approximation. Springer, 2018.Нурсултанов Е.Д. О мультипликаторах рядов Фурье по тригонометрической системе // Математические заметки. – 1998. – Т. 63. – № 2. – С. 235–247. https://doi.org/10.4213/mzm1270.Nursultanov, E.D. On the multipliers of Fourier series with respect to the trigonometric system, Math. Notes, 63(2), 205–214 (1998). https://doi.org/10.4213/mzm1270.Bassarov S., Nursultanov E. New Cubature Formulas for Sobolev Spaces with Dominant Mixed Derivative // J. Math. Sci. – 2025. – Vol. 291. – P. 4–19. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07774-5.Bassarov, S., Nursultanov, E. New Cubature Formulas for Sobolev Spaces with Dominant Mixed Derivative. J Math Sci., 291, 4–19 (2025). https://doi.org/10.1007/s10958-025-07774-5Dick J., Kritzer P., Pillichshammer F. Lattice rules. – Springer, Cham, 2022. https://doi.org/10.1007/9783-031-09951-9.Dick, J., Kritzer, P., Pillichshammer, F. Lattice Rules. Springer. Cham. 2022. https://doi.org/10.1007/978-3-031-09951-9.Plonka G. et al. Numerical fourier analysis. – New York : Springer International Publishing, 2018. https://doi.org/10.1007/978-3-031-35005-4Plonka, G. et al. Numerical Fourier Analysis. Springer International Publishing. New York. 2018. https://doi.org/10.1007/978-3-031-35005-4.Bartel F. et al. On the reconstruction of functions from values at subsampled quadrature points // Math. Comput. – 2024. – Vol. 93. – № 346. – P 785–809.Bartel, F. et al. On the reconstruction of functions from values at subsampled quadrature points, Math. Comput., 93 (346), 785–809 (2024).Sickel W., Ullrich T. Smolyak's algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of dominating mixed smoothness. – Univ., 2006.Sickel, W., Ullrich, T. Smolyak's algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of dominating mixed smoothness. Univ., 2006.

The authors declare that there are no conflicts of interest present.