ВОССТАНАВЛИВАЮЩАЯ ФУНКЦИЯ ДЛЯ ПРОСТРАНСТВ СОБОЛЕВА С ДОМИНИРУЮЩЕЙ СМЕШАННОЙ ПРОИЗВОДНОЙ

Линейная аппроксимация – это приближение функции из некоторого класса элементами фиксированного конечного подпространства этого же класса. Например, для одномерных периодических функций такими элементами служат тригонометрические полиномы. В интересующем нас многомерном случае для функций, периодических по каждой переменной, в качестве такого подпространства выступает множество тригонометрических полиномов со спектром из ступенчатого гиперболического креста. При этом возникает вопрос выбора коэффициентов для этих полиномов. В данной статье представлен аппарат, восстанавливающий функции из пространств Соболева с доминирующей смешанной производной по заданным точкам и получены оценки погрешности восстановления. Метод основан на построении восстанавливающей функции в виде полинома со спектром из ступенчатого гиперболического креста, коэффициенты которого вычисляются по заданным точкам. Погрешность приближения имеет порядок ортопоперечника, что является оптимальным результатом для таких полиномов. Предложенный метод точен для полиномов со спектром из ступенчатого гиперболического креста. Также получен функционал, восстанавливающий коэффициенты Фурье для функций из указанных пространств. Благодаря явному выражению восстанавливающей функции полученная формула может быть использована для решения прикладных задач.

1. Темляков В.Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной // Труды Математического института имени В.А. Стеклова. – 1986. – Т. 178. – С. 3–113.

2. Темляков В.Н. Поперечники некоторых классов функций нескольких переменных // Докл. АН СССР. – 1982. – Т. 267. – № 2. – С. 314–317.

3. Темляков В.Н. Приближение периодических функций нескольких переменных тригонометрическими полиномами и поперечники некоторых классов функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. – 1985. – Т. 49, №5. – С. 986–1030. https://doi.org/10.1070/IM1986v027n02ABEH001179.

4. Темляков В.Н. Оценки асимптотических характеристик классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Сборник трудов Всесоюзной школы по теории функций. – Тр. МИАН СССР –1989. – Т. 189. – С. 138–168.

5. Темляков В.Н. Об оценках ε-энтропии и поперечников классов функций с ограниченной смешанной производной или разностью // Докл. АН СССР. – 1988. – Т. 301. – С. 288–291.

6. Галеев Э.М., Приближение суммами Фурье классов функций с несколькими ограниченными производными // Матем. заметки. – 1978. –Т. 23. – № 2. – С. 197–212. https://doi.org/10.1007/BF01153149.

7. Никольская Н.С. Приближение дифференцируемых функций многих переменных суммами Фурье в метрике Lp // Сиб. матем. журн. – 1974. – Т. 15. – № 2. – С. 395–412. https://doi.org/10.1007/ BF00968291.

8. Byrenheid G. and Ullrich T. Optimal sampling recovery of mixed order Sobolev embeddings via discrete Littlewood–Paley type characterizations // Anal Math. – 2017. – Vol. 43. – P. 133–191. https://doi.org/10.1007/s10476-017-0303-5.

9. Dinh Dung and Ullrich T. Lower bounds for the integration error for multivariate functions with mixed smoothness and optimal Fibonacci cubature for functions on the square // Math. Nachr. – 2015. – Vol. 288. – P. 743–762. https://doi.org/10.1002/mana.201400048.

10. Krieg D. et al. Sampling recovery in $ L_2 $ and other norms // arXiv preprint arXiv:2305.07539. – 2023.

11. Kolomoitsev Y., Lomako T. and Tikhonov S., Sparse grid approximation in weighted Wiener spaces // J. Fourier Anal. Appl. – 2023. – Vol. 29. – No. 2. – P. 19. https://doi.org/10.1007/s00041-023-09994-2.

12. Byrenheid G., Sparse representation of multivariate functions based on discrete point evaluations : Diss. – Universitäts-und Landesbibliothek Bonn, 2019.

13. Kolomoitsev Y. Approximation by quasi-interpolation operators and Smolyak's algorithm // J. Complexity. – 2022. – Vol. 69. – P. 101601. https://doi.org/10.1016/j.jco.2021.101601.

14. Dinh Dung B-spline quasi-interpolant representations and sampling recovery of functions with mixed smoothness // J. Complexity. – 2011. – Vol. 27. – P. 541–467. https://doi.org/10.1016/j.jco.2011.02.004.

15. Triebel H. Bases in function spaces, sampling, discrepancy, numerical integration, European Math. Soc. Publishing House, Zürich, 2010.

16. Krieg D. and Ullrich M. Function values are enough for L 2-approximation // Found. Comput. Math. – 2021. – Vol. 21. – No. 4. – P. 1141–1151. https://doi.org/10.1007/s10208-020-09481-w.

17. Нурсултанов Е.Д., Тлеуханова Н.Т. О восстановлении мультипликативных преобразований функций из анизотропных пространств // Сибирский математический журнал. – 2014. – Т. 55. – № 3. – С. 592-609. https://doi.org/10.1134/S0037446614030100.

18. Dũng D., Temlyakov V., Ullrich T. Hyperbolic cross approximation. – Springer, 2018.

19. Нурсултанов Е.Д. О мультипликаторах рядов Фурье по тригонометрической системе // Математические заметки. – 1998. – Т. 63. – № 2. – С. 235–247. https://doi.org/10.4213/mzm1270.

20. Bassarov S., Nursultanov E. New Cubature Formulas for Sobolev Spaces with Dominant Mixed Derivative // J. Math. Sci. – 2025. – Vol. 291. – P. 4–19. https://doi.org/10.1007/s10958-025-07774-5.

21. Dick J., Kritzer P., Pillichshammer F. Lattice rules. – Springer, Cham, 2022. https://doi.org/10.1007/9783-031-09951-9.

22. Plonka G. et al. Numerical fourier analysis. – New York : Springer International Publishing, 2018. https://doi.org/10.1007/978-3-031-35005-4

23. Bartel F. et al. On the reconstruction of functions from values at subsampled quadrature points // Math. Comput. – 2024. – Vol. 93. – № 346. – P 785–809.

24. Sickel W., Ullrich T. Smolyak's algorithm, sampling on sparse grids and function spaces of dominating mixed smoothness. – Univ., 2006.