МЕТОД ФИЗИЧЕСКИ ОБОСНОВАННОЙ НЕЙРОННОЙ СЕТИ (PINN), ОСНОВАННЫЙ НА САМОПОДОБНЫХ РЕШЕНИЯХ

При численном решении дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих сложные физические процессы, такие как теплопроводность и газовая динамика, зачастую требуется значительная вычислительная мощность. Для решения этих сложностей в последние годы особое внимание науки и техники привлекают физически информированные нейронные сети (Physics-Informed Neural Networks, PINN). В данной статье рассматривается задача нахождения решений уравнений теплопроводности и газовой динамики с помощью метода PINN. В отличие от традиционных численных методов, метод физически информированных нейронных сетей позволяет решать задачи, внедряя физические законы в структуру нейронной сети. То есть решение подчиняется не только данным, но и самому уравнению. В статье описываются архитектура метода PINN, структура функций потерь и их связь с уравнением теплопроводности и уравнениями Эйлера на конкретных примерах. Кроме того, анализируются механизмы введения начальных и граничных условий, а также факторы, влияющие на устойчивость и точность решений. Полученные результаты демонстрируют эффективность PINN и возможность их применения в будущем для решения сложных многомерных и многофазных задач. Также предложены исследования, направленные на ускорение вычислительного процесса и повышение стабильности PINN.

1. Raissi M., Perdikaris P., Karniadakis G.E. Physics-informed neural networks: A deep learning framework for solving forward and inverse problems involving nonlinear partial differential equations // Journal of Computational Physics. – 2019. – Vol. 378. – P. 686–707. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.10.045.

2. Raissi M., Perdikaris P., Daryakenari N.A., Karniadakis G.E. Physics-Informed Neural Networks and Extensions. – 2024. https://doi.org/10.48550/arXiv.2408.16806.

3. Meirmanov A. Mathematical models for poroelastic flows. – Paris: Atlantis Press, Atlantis Studies in Differential Equations, 2014. https://doi.org/10.2991/978-94-6239-015-7.

4. Fefferman C.L. Existence and smoothness of the Navier–Stokes equation. – Clay Mathematics Institute, 2017. – P. 1–6. URL: https://www.claymath.org/wp-content/uploads/2022/06/navierstokes.pdf.

5. Конюхов И.В., Конюхов В.М., Черница А.А., Дюсенова А. Особенности применения физически информированных нейронных сетей для решения обыкновенных дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование. – 2024. – Т. 16. – № 7. – С. 1621–1636. https://doi.org/10.20537/2076-7633-2024-16-7-1621-1636.

6. Meirmanov A., Nurtas M. Mathematical models of seismic in composite media: elastic and poro-elastic components // Electronic Journal of Differential Equations. – 2016. – No. 184. – P. 1–22. URL: http://ejde.math.unt.edu.

7. Lawal Z.K., Yassin H., Lai D.T.C., Idris A.C. Physics-Informed Neural Network (PINN) Evolution and Beyond: A Systematic Literature Review and Bibliometric Analysis // Big Data and Cognitive Computing. – 2022. – Vol. 6. – No. 4. – Article 140. https://doi.org/10.3390/bdcc6040140.

8. Cuomo S., Schiano di Cola V., Giampaolo F., Rozza G., Raissi M., Piccialli F. Scientific Machine Learning through Physics-Informed Neural Networks: Where we are and What's next. – 2022. https://doi.org/10.48550/arXiv.2201.05624.

9. Toscano J.D., Oommen V., Varghese A.J., Zou Z., Daryakenari N.A., Wu C., Karniadakis G.E. From PINNs to PIKANs: Recent Advances in Physics-Informed Machine Learning. – 2024. https://doi.org/10.48550/arXiv.2410.13228.

10. Lagaris I.E., Likas A., Fotiadis D.I. Artificial neural networks for solving ordinary and partial differential equations // IEEE Transactions on Neural Networks. – 1998. – Vol. 9. – No. 5. – P. 987–1000.

11. Karniadakis G.E., Kevrekidis I.G., Lu L., Perdikaris P., Wang S., Yang L. Physics-informed machine learning // Nature Reviews Physics. – 2021. – Vol. 3. – P. 422–440.

12. Barenblatt G.I. Scaling, self-similarity, and intermediate asymptotics. – Cambridge: Cambridge University Press, 1996.

13. Krasnozhonov R. and Nurtas M. Modeling the Propagation of Acoustic Waves in an Elastic Medium Using Physics-Informed Neural Networks, 2025 IEEE 5th International Conference on Smart Information Systems and Technologies (SIST), Astana, Kazakhstan, 2025, pp. 1–7. https://doi.org/10.1109/SIST61657.2025.11139217.