ПРИМЕРЫ О-МИНИМАЛЬНЫХ ОБОГАЩЕНИЙ ПЛОТНОГО ДЕРЕВА ВСТРЕЧ

Понятие о-минимальности является очень продуктивным для линейно упорядоченных структур, но прямой перенос этого понятия на частично упорядоченные множества испытывает некоторые трудности. Действительно, работ по о-минимальным частично упорядоченным структурам очень и очень мало. Стандартное определение о-минимальности для частично упорядоченных структур говорит, что любое формульное подмножество представимо в виде булевой комбинации интервалов и точек. Поскольку булева комбинация включает операцию взятия дополнения множества, а в частично упорядоченных множествах дополнение интервала может быть устроено чрезвычайно сложно, есть определенные сложности в исследовании таким образом определенного класса структур. Мы предлагаем использовать другое определение о-минимальности – частично упорядоченная структура является о-минимальной, если любое ее формульное подмножество является конечным объединением обобщенных интервалов и точек. В статье мы приводим ряд примеров, которые показывают, что данное определение нетривиально, что есть структуры, которые являются о-минимальными в новом смысле.

1. Dauletiyarova A. B., Verbovskiy V.V. On the number of countable models of constant and unary predicates expansions of the dense meet-tree theory // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2024. – Vol. 21. – No. 2. – P. 755–770.

2. Даулетиярова А.Б., Вербовский В.В. О понятии о-минимальности для частиных порядков на примере плотного дерева встреч: Тезисы докладов «Мальцевские чтения, 2024», Новосибирск, Математический центр в Академгородке, 2024. – C. 239.

3. Kudaibergenov K.Zh. Generalized o-minimality for partial orders // Siberian Adv. Math. – 2013. – Vol. 23. – No 1. – P. 47–60 [in Russian].

4. Kulpeshov B. Sh. On connectedness in partially ordered structures // AIP Proceedings. – 2016. – Vol. 1759. – P. 020062, https://doi.org/10.1063/1.4969676.

5. Emelyanov D.Yu., Kulpeshov B.Sh., Sudoplatov S.V. Algebras of binary formulas for some partially ordered theories. Algebra and Model Theory 13 (collection of papers edited by A. G. Pinus, E.N. Poroshenko, and S.V. Sudoplatov), NSTU, Novosibirsk, 202, pp. 69–75.

6. Newelski L., Wencel R. Definable sets in Boolean-ordered o-minimal structures // I, The Journal of Symbolic Logic. – 2001. – V. 66. – No. 4. – P. 1821–1836. https://doi.org/10.2307/2694978

7. Peretyat'kin M.G. On complete theories with a finite number of denumerable models // Algebra and Logic. – 1973. – Vol. 12. – No. 5. – P. 310–326.

8. Sudoplatov S.V., Verbovskiy V.V. On the concepts of convexity and weak o-minimality for partially ordered structures // Herald of the Kazakh-British technical university. 2024. – Vol. 21. – No. 1. – P. 75–84 [in Russian]. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-75-84.

9. Toffalori C. Lattice ordered o-minimal structures // Notre Dame Journal of Formal Logic. – 1998. – Vol. 39. – No. 4. – P. 447–463. https://doi.org/10.1305/ndjfl/1039118862.