О РЕШЕНИЯХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

Цель настоящей работы заключается в исследовании неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, близких к обыкновенному случаю. Частное решение рассматриваемой системы вблизи регулярной особенности (0,0) ищется в виде обобщенного степенного ряда двух переменных с помощью метода Фробениуса-Латышевой. Показаны разные возможные случаи, когда системы определяющих уравнений имеют простые или кратные корни. Приведена теорема для частного решения «резонансной» неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. На примере показано решение неоднородной системы Бесселя. Соответствующая однородная система имеет решения в виде функций Бесселя двух переменных, частное решение неоднородной системы представлено в виде произведения бесселевых функций.

1. Fuchs L. Ueber Relationen welche für die zwischen je zwei singulären Punkten erstreckten Integrale der Lösungen linearer Differentialgleichungen stattfinden // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 1873. – Bd. 76. – P. 177 – 213.

2. Fuchs L. Ueber die Werte, welche die Integrale einer Differentialgleichungen erster Ordnung in singularen Punkten annehmen kannen // Berl. Ber.: 1886. – P. 219–300.

3. Frobenius G. Uber algebreich integrirbare lineare Differentialgleichungen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 1875. – Bd. 80. – P. 83–193.

4. Латишева К.Я. Пiднормальнi ряди, як разв"язки лiнiйних диференцiальних рiвнянь, ранг яких дорiвню одиницi // ДАН УССР. – 1952. – № 2. – С. 53–57.

5. Латышева К.Я. О нормальных рядах как решениях линейных дифференциальных уравнений любого ранга // Науковi записки КДУ, Мат. сборник. – Киiв,1952. – № 6. – С. 25–46.

6. Пуанкаре А. Избранные методы. Новые методы небесной механики. – М.: Наука, 1971. – 771 с.

7. Сикорский Ю.И., Терещенко Н.И. О неоднородных линейных дифференциальных уравнениях в регулярном случае // Мат. физика. – Киев, 1972. – № 11. – С. 133–137.

8. Сикорский Ю.И., Терещенко Н.И. Об одном методе нахождения частных решений неоднородных уравнений Бесселя и Лежандра // Мат. физика. – Киев, 1971. – Вып. 9. – С. 152–159.

9. Сикорский Ю.И. Нормальные решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами: автореф. … канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1972. – 12 с.

10. Кашкинбаев О. Нормально-регулярные и асимптотические решения линейных дифференциальных уравнений с тригонометрическими коэффициентами: автореф. … канд. физ.-мат. наук. – Алматы, 1996. – 16 с.

11. Латышева К.Я., Терещенко Н.И., Орел Г.С. Нормально-регулярные решения и их приложения. – Киев: Вищ. школа, 1974. – 136 с.

12. Тасмамбетов Ж.Н., Терещенко Н.И. О логарифмических решениях системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Сборник трудов инст. мат. и мех. АН КазССР. – 1974. – С. 236–244.

13. Тасмамбетов Ж.Н. Построение нормальных и нормально-регулярных решений специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. – ИП Жандилдаева С.Т., Актобе, 2015. – 464 с.

14. Тасмамбетов Ж.Н. Нормально-регулярные решения системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Изв. Мин. науки – АН РК. Сер. физ.-мат. – 1998. – № 5. – С. 51–57.

15. Талипова М.Ж., Тасмамбетов Ж.Н. Алгоритм поиска рациональных решений линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами // Материалы II межд. конф. «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры». – Актобе, 2000. – С. 108–110.

16. Tasmambetov Zh. About logarithmic decisions of the special system of the differential equations in partial derivatives // Abstracts of the third congress of the World mathematical Society of Turkic countries. – Almaty, 2009. – P. 407–411.

17. Tasmambetov Zh.N., Issenova A.A. Bessel functions of two variables as solutions for systems of the second order differential equations // Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series. – 2020. – Vol. 98. – №2. – P. 141–152.

18. Issenova A.A, Tasmambetov Z.N, Talipova M.Z. Construction of solutions hypergeometric system of Horn type in the form of Laguerre polynomials. // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2022. – Vol. 43. – No.11. – P. 3167–3173.

19. Tasmambetov Z.N., Talipova M.Z. Construction of normal-regular decisions of Bessel typed special system // AIP Conference Proceedings. – 2017. – 1880. https://doi.org/ 10.1063/1.5000629.

20. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ч. II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1974. – 295 с.

21. Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 288 с.