kaz29Вестник Казахстанско-Британского технического университетаHerald of the Kazakh-British Technical University1998-66882959-8109Казахстанско-Британский Технический Университет10.55452/1998-6688-2025-22-2-188-199kaz29-1999Research ArticleМАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИMATHEMATICAL SCIENCESО РЕШЕНИЯХ НЕОДНОРОДНЫХ СИСТЕМ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКАON SOLUTIONS OF NONHOMOGENEOUS SYSTEMS OF SECOND-ORDER PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATIONShttps://orcid.org/0000-0001-9728-8378ТалиповаМ. Ж.TalipovaM. Zh.

 канд. физ.-матем. наук, доцент 

 г. Актобе 

 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor 

mira_talipova@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0006-4443-2579СейловаР. Ж.SeilovaR. D.

 канд. физ.-матем. наук, доцент 

 г. Актобе 

 Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor 

roza_seilova@mail.ruhttps://orcid.org/0009-0000-2517-8559КаиповаА. Д.KaipovaA. D.

 магистр естественных наук, преподаватель 

 г. Актобе 

 master of Science, teacher 

almaz_ai@mail.ruАктюбинский региональный университет им. К. ЖубановаКазахстанAktobe Regional University named after K. ZhubanovKazakhstan202506072025222188199Copyright © Талипова М.Ж., Сейлова Р.Ж., Каипова А.Д., 20252025Талипова М.Ж., Сейлова Р.Ж., Каипова А.Д.Talipova M.Z., Seilova R.D., Kaipova A.D.Данная работа распространяется под лицензией Creative Commons Attribution 4.0.This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.https://vestnik.kbtu.edu.kz/jour/article/view/1999

Цель настоящей работы заключается в исследовании неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка, близких к обыкновенному случаю. Частное решение рассматриваемой системы вблизи регулярной особенности (0,0) ищется в виде обобщенного степенного ряда двух переменных с помощью метода Фробениуса-Латышевой. Показаны разные возможные случаи, когда системы определяющих уравнений имеют простые или кратные корни. Приведена теорема для частного решения «резонансной» неоднородной системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. На примере показано решение неоднородной системы Бесселя. Соответствующая однородная система имеет решения в виде функций Бесселя двух переменных, частное решение неоднородной системы представлено в виде произведения бесселевых функций.

The aim of this work is to study a nonhomogeneous system of second-order partial differential equations that is close to the ordinary case. A particular solution of the considered system near the regular singular point (0,0) is sought in the form of a generalized power series in two variables using the Frobenius-Latysheva method. Various possible cases are demonstrated, where the systems of determining equations have simple or multiple roots. A theorem is presented for the particular solution of a “resonant” nonhomogeneous system of second-order partial differential equations. As an example, the solution of a nonhomogeneous Bessel system is given. The corresponding homogeneous system has solutions in the form of Bessel functions of two variables, while the particular solution of the nonhomogeneous system is expressed as a product of Bessel functions.

неоднородная системарешениеопределяющее уравнениемногочленаналитическая функциярядрегулярная особая точкаметод Фробениуса-Латышевойnonhomogeneous systemsolutiondetermining equationpolynomialanalytic functionseriesregular singular pointFrobenius-Latysheva methodДанное исследование финансировалось Комитетом науки Министерства науки и высшего образования Республики Казахстан (ИРН AP19675358).ReferencesFuchs L. Ueber Relationen welche für die zwischen je zwei singulären Punkten erstreckten Integrale der Lösungen linearer Differentialgleichungen stattfinden // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 1873. – Bd. 76. – P. 177 – 213.Fuchs L. Ueber Relationen welche für die zwischen je zwei singulären Punkten erstreckten Integrale der Lösungen linearer Differentialgleichungen stattfinden. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 76, pp. 177–213 (1873).Fuchs L. Ueber die Werte, welche die Integrale einer Differentialgleichungen erster Ordnung in singularen Punkten annehmen kannen // Berl. Ber.: 1886. – P. 219–300.Fuchs L. Ueber die Werte, welche die Integrale einer Differentialgleichungen erster Ordnung in singularen Punkten annehmen kannen. Berl. Ber., pp. 219–300 (1886).Frobenius G. Uber algebreich integrirbare lineare Differentialgleichungen // Journal für die reine und angewandte Mathematik. – 1875. – Bd. 80. – P. 83–193.Frobenius G. Uber algebreich integrirbare lineare Differentialgleichungen. Journal für die reine und angewandte Mathematik, Bd. 80, pp. 83–193 (1875).Латишева К.Я. Пiднормальнi ряди, як разв"язки лiнiйних диференцiальних рiвнянь, ранг яких дорiвню одиницi // ДАН УССР. – 1952. – № 2. – С. 53–57.Latisheva K.Ja. Pidnormal'ni rjadi, jak razv"jazki linijnih diferencial'nih rivnjan', rang jakih dorivnju odinici.DAN USSR, no. 2, pp. 53–57 (1952). [in Ukrainian]Латышева К.Я. О нормальных рядах как решениях линейных дифференциальных уравнений любого ранга // Науковi записки КДУ, Мат. сборник. – Киiв,1952. – № 6. – С. 25–46.Latysheva K.Ja. O normal'nyh rjadah kak reshenijah linejnyh differencial'nyh uravnenij ljubogo ranga. Naukovi zapiski KDU, Mat. sbornik., no. 6, pp. 25–46 (1952). [in Russian]Пуанкаре А. Избранные методы. Новые методы небесной механики. – М.: Наука, 1971. – 771 с.Puankare A. Izbrannye metody. Novye metody nebesnoj mehaniki (Moscow, Nauka, 1971), 771 p. [in Russian].Сикорский Ю.И., Терещенко Н.И. О неоднородных линейных дифференциальных уравнениях в регулярном случае // Мат. физика. – Киев, 1972. – № 11. – С. 133–137.Sikorskij Ju.I., Tereshhenko N.I. O neodnorodnyh linejnyh differencial'nyh uravnenijah v reguljarnom sluchae. Mat. fizika (Kiev, 1972), no.11, pp. 133–137 [in Russian].Сикорский Ю.И., Терещенко Н.И. Об одном методе нахождения частных решений неоднородных уравнений Бесселя и Лежандра // Мат. физика. – Киев, 1971. – Вып. 9. – С. 152–159.Sikorskij Ju.I., Tereshhenko N.I. Ob odnom metode nahozhdenija chastnyh reshenij neodnorodnyh uravnenij Besselja i Lezhandra. Mat. Fizika (Kiev. 1971), vol. 9, pp.152–159. [in Russian].Сикорский Ю.И. Нормальные решения линейных неоднородных дифференциальных уравнений с переменными коэффициентами: автореф. … канд. физ.-мат. наук. – Киев, 1972. – 12 с.Sikorskij Ju.I. Normal'nye reshenija linejnyh neodnorodnyh differencial'nyh uravnenij s peremennymi kojefficientami: avtoref. … kand. fiz.-mat. Nauk (Kiev, 1972), 12 p. [in Russian].Кашкинбаев О. Нормально-регулярные и асимптотические решения линейных дифференциальных уравнений с тригонометрическими коэффициентами: автореф. … канд. физ.-мат. наук. – Алматы, 1996. – 16 с.Kashkinbaev O. Normal'no-reguljarnye i asimptoticheskie reshenija linejnyh differencial'nyh uravnenij s trigonometricheskimi kojefficientami: avtoref. … kand. fiz.-mat. Nauk (Almaty, 1996), 16 p. [in Russian].Латышева К.Я., Терещенко Н.И., Орел Г.С. Нормально-регулярные решения и их приложения. – Киев: Вищ. школа, 1974. – 136 с.Latysheva K.Ja., Tereshhenko N.I., Orel G.S. Normal'no-reguljarnye reshenija i ih prilozhenija (Kiev: Vishh. shkola, 1974), 136 p. [in Russian].Тасмамбетов Ж.Н., Терещенко Н.И. О логарифмических решениях системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Сборник трудов инст. мат. и мех. АН КазССР. – 1974. – С. 236–244.Tasmambetov Zh.N., Tereshhenko N.I. O logarifmicheskih reshenijah sistemy differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka. Sbornik trudov inst. mat. i meh. AN KazSSR, pp. 236 – 244 (1974) [in Russian].Тасмамбетов Ж.Н. Построение нормальных и нормально-регулярных решений специальных систем дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. – ИП Жандилдаева С.Т., Актобе, 2015. – 464 с.Tasmambetov Zh.N. Postroenie normal'nyh i normal'no-reguljarnyh reshenij special'nyh system differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka. IP Zhandildaeva S.T. (Aktobe, 2015), 464 р. [in Russian].Тасмамбетов Ж.Н. Нормально-регулярные решения системы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка // Изв. Мин. науки – АН РК. Сер. физ.-мат. – 1998. – № 5. – С. 51–57.Tasmambetov Zh.N. Normal'no-reguljarnye reshenija sistemy differencial'nyh uravnenij v chastnyh proizvodnyh vtorogo porjadka. Izv. Min. naukiAN RK. Ser. fiz.-mat., no. 5, pp. 51–57 (1998) [in Russian].Талипова М.Ж., Тасмамбетов Ж.Н. Алгоритм поиска рациональных решений линейных дифференциальных уравнений с полиномиальными коэффициентами // Материалы II межд. конф. «Проблемы дифференциальных уравнений, анализа и алгебры». – Актобе, 2000. – С. 108–110.Talipova M.Zh., Tasmambetov Zh.N. Algoritm poiska racional'nyh reshenij linejnyh differencial'nyh uravnenij s polinomial'nymi kojefficientami. Materialy II mezhd. konf. “Problemy differencial'nyh uravnenij, analiza i algebry” (Aktobe, 2000), pp.108–110 [in Russian].Tasmambetov Zh. About logarithmic decisions of the special system of the differential equations in partial derivatives // Abstracts of the third congress of the World mathematical Society of Turkic countries. – Almaty, 2009. – P. 407–411.Tasmambetov Zh. About logarithmic decisions of the special system of the differential equations in partial derivatives. Abstracts of the third congress of the World mathematical Society of Turkic countries. Almaty, 407–411(2009).Tasmambetov Zh.N., Issenova A.A. Bessel functions of two variables as solutions for systems of the second order differential equations // Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series. – 2020. – Vol. 98. – №2. – P. 141–152.Tasmambetov Zh.N., Issenova A.A. Bessel functions of two variables as solutions for systems of the second order differential equations. Bulletin of the Karaganda University. Mathematics Series 98, 2, 141–152 (2020).Issenova A.A, Tasmambetov Z.N, Talipova M.Z. Construction of solutions hypergeometric system of Horn type in the form of Laguerre polynomials. // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2022. – Vol. 43. – No.11. – P. 3167–3173.Issenova A.A., Tasmambetov Z.N, Talipova M.Z. Construction of solutions hypergeometric system of Horn type in the form of Laguerre polynomials. Lobachevskii Journal of Mathematics 43, 11, 3167–3173 (2022).Tasmambetov Z.N., Talipova M.Z. Construction of normal-regular decisions of Bessel typed special system // AIP Conference Proceedings. – 2017. – 1880. https://doi.org/ 10.1063/1.5000629.Tasmambetov Z.N., Talipova M.Z. Construction of normal-regular decisions of Bessel typed special system. AIP Conference Proceedings, 1880 (2017) https://doi.org/10.1063/1.5000629.Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. ч. II. Функции Бесселя, функции параболического цилиндра, ортогональные многочлены. – М.: Наука, 1974. – 295 с.Bejtmen G. i Jerdeji A. Vysshie transcendentnye funkcii. ch. II. Funkcii Besselja, funkcii parabolicheskogo cilindra, ortogonal'nye mnogochleny (Moscow, Nauka, 1974), 295 p. [in Russian].Коренев Б.Г. Введение в теорию бесселевых функций. – М.: Наука, 1971. – 288 с.Korenev B.G. Vvedenie v teoriju besselevyh funkcij (M., Nauka, 1971), 288 p. [in Russian].

The authors declare that there are no conflicts of interest present.