БИГАРМОНИЯЛЫҚ ОПЕРАТОРДЫҢ БЕЙЛОКАЛ АНАЛОГЫ ҮШІН КЕЙБІР СПЕКТРЛІК ЕСЕПТЕР ТУРАЛЫ

Дирихле шеттік шартымен берілген классикалық бигармониялық оператордың меншікті функциялар жүйесі L₂ кеңістігінде толық және ортонормальды екені белгілі. Осы меншікті функцияларға сәйкес келетін меншікті мәндер оң және өсу ретімен нөмірленуі мүмкін. Кейбір жағдайларда толқытылған бигармониялық оператор үшін шеттік есептердің меншікті функциялары мен меншікті мәндері ұқсас қасиеттерге ие болады. Бұл жұмыста ортогональды матрицаларды пайдалана отырып толқытылған бигармониялық оператордың бейлокал аналогы енгізіледі. Бұл оператор үшін екі шекаралық есептердің спектрлік мәселелері зерттеледі. Бірінші есепте Дирихле шекаралық шарттары, екіншісінде Дирихле түріндегі шарттар қарастырылады. Бірінші есепті зерттеу барысында толқытылған бигармониялық оператор үшін Дирихле есебінің меншікті функциялар жүйесінің толықтық қасиетін қолданамыз. Осы жүйелердің қасиеттерін, сондай-ақ ортогональды матрицалармен анықталатын бейнелеулердің қасиеттерін пайдалана отырып, біз негізгі есептің меншікті функциялары мен меншікті мәндерін табамыз. Екінші есепте Лаплас операторы үшін Дирихле есебінің меншікті функциялары мен меншікті мәндері қолданылады. Бұл жүйелердің айқын түрін , сонымен қатар осы жүйелердің қасиеттерін пайдалана отырып, екінші есептің меншікті функциялары мен меншікті мәндері құрылады. Қарастырылатын есептердің меншікті функциялар жүйесінің L₂ кеңістігінде толықтығы туралы теоремалар дәлелденді.

1. Kirane M., Sadybekov M.A., Sarsenbi A.A. On an inverse problem of reconstructing a subdiffusion process from nonlocal data // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2019. – Vol. 42. – No. 6. – P. 2043–2052. https://doi.org/10.1002/mma.5498.

2. Torebek B.T, Tapdigoglu R. Some inverse problems for the nonlocal heat equation with Caputo fractional derivative // Mathematical Methods in the Applied Sciences. – 2017. – Vol. 40. – No. 18. – P. 6468–6479. https://doi.org/10.1002/mma.4468.

3. Kornuta A.A., Lukianenko V.A. Stable structures of nonlinear parabolic equations with transformation of spatial variables // Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2021. – Vol. 42. – No. 5. – P. 911–930. https://doi.org/10.1134/S1995080221050073.

4. Kornuta A. A., Lukianenko V. A. Nonlinear optics problem with transformation of a spatial variable and an oblique derivative // Contemporary Mathematics. Fundamental Directions. – 2023. – Vol. 69. – No. 2. – P. 276–288. https://doi.org/10.22363/2413-3639-2023-69-2-276-288.

5. Baskakov A.G., Krishtal I.A., Uskova N.B. On the spectral analysis of a differential operator with an involution and general boundary conditions // Eurasian Mathematical Journal. – 2020. – Vol. 11. – No. 2. – P. 30–39. https://doi.org/10.32523/2077-9879-2020-11-2-30-39.

6. Bondarenko N.P. Inverse spectral problems for functional-differential operators with involution // Journal of Differential Equations. – 2022. – Vol. 318. – No. 5. – P. 169–186. https: //doi.org/10.1016/j.jde.2022.02.027.

7. Granilshchikova Y.A., Shkalikov A.A. Spectral Properties of a Differential Operator with Involution // Moscow Univ. Math. Bull. – 2022. – Vol.77. – No .4. – P. 204–208. https://doi.org/10.3103/S0027132222040040.

8. Kritskov L.V., Ioffe V.L. Spectral Properties of the Cauchy Problem for a Second-Order Operator with Involution//Differential Equations. – 2021. – Vol. 57. –No. 2. – P. 1–10. https: //doi.org/10.1134/S0012266121010018.

9. Kritskov L., Sadybekov M., Sarsenbi A. Properties in pL of root functions for a nonlocal problem with involution // Turkish Journal of Mathematics. – 2019. – Vol. 43. – No. 1. – P. 393– 401. https://doi.org/10.3906/mat-1809-12.

10. Sarsenbi A.A., Sarsenbi A.M. On eigenfunctions of the boundary value problems for second order differential equations with involution//Symmetry. – 2021. – Vol. 13. – No. 1972. – P. 1–9. https://doi.org/10.3390/sym13101972.

11. Sarsenbi A.A., Sarsenbi A.M. Boundary value problems for a second-order differential equation with involution in the second derivative and their solvability // AIMS Mathematics. – 2023. – Vol. 8. – No. 11. – P. 26275–26289. https://doi.org/10.3934/math.20231340.

12. Vladykina V.E., Shkalikov A.A. Regular Ordinary Differential Operators with Involution//Math Notes. – 2019. – Vol. 106. – P. 674–687. https://doi.org/10.1134/S0001434619110026.

13. Kirane M., Sarsenbi A.A. Solvability of Mixed Problems for a Fourth-Order Equation with Involution and Fractional Derivative//Fractal and Fractional. – 2023. – Vol. 7. – No. 131. – P. 1–12. https://doi.org/10.3390/fractalfract7020131.

14. Polyakov D.M. On the Bari basis property for even-orderdifferential operators with involution//Tamkang journal of mathematics. – 2023. – Vol. 54. – No. 4. – P. 339 – 351. http://dx.doi.org/10.5556/j.tkjm.54.2023.4899.

15. Turmetov B. Kh., Karachik V.V. Solvability of nonlocal Dirichlet problem for generalized Helmholtz equation in a unit ball // Complex Variables and Elliptic Equations. – 2023. – Vol. 68. – No. 7. – P. 1204–1218. https://doi.org/10.1080/17476933.2022.2040021.

16. Turmetov B., Karacik V.V. On eigenfunctions and eigenvalues of a nonlocal Laplace operator with involution in a parallelepiped // AIP Conference Proceedings. – 2023. – Vol. 2879. – No. 1. – P. 1–4. https://doi.org/10.1063/5.0175246.

17. Rektorys K., Variational methods in mathematics, science and engineering. – Dordrecht: Springer, 1977. https://doi.org/10.1007/978-94-011-6450-4.

18. Karachik V.V., Sarsenbi A., Turmetov B.Kh. On solvability of the main boundary value problems for a non-local Poisson equation // Turkish journal of mathematics. – 2019. – Vol. 43. – No. 3. – P. 1604–1625. https://doi.org/10.3906/mat-1901-71.