РЕГУЛЯРИЗОВАННЫЙ СЛЕД ОПЕРАТОРА ШТУРМА-ЛИУВИЛЛЯ НА ГРАФ-ЗВЕЗДЕ

В работе исследуются дифференциальный оператор второго порядка на граф-звезде. Выбран специальный класс дифференциальных операторов на граф-звезде с простыми собственными значениями. Изучена структура характеристических определителей таких операторов. В случае оператора Штурма-Лиувилля с постоянными коэффициентами выписана формула первого регуляризованного следа. Основной целью работы является вычисление регуляризованного следа оператора на граф-звезде, что отличается от вычислений для аналогичных операторов на отрезках, рассмотренных в других работах. В статье также подробно раскрываются свойства собственных значений оператора, включая теорему о том, что собственные значения оператора совпадают с нулями целой функции и алгебраическая кратность каждого собственного значения равна кратности нуля функции. Для наглядности результаты работы представлены через характеристический определитель оператора и числовые ряды, которые описывают поведение регуляризованного следа. При использовании методов теории функций и аналитических рядов вычисляется первый регуляризованный след, что является важным шагом в изучении спектральных характеристик оператора на графах. Статья представляет интерес для специалистов в области теории спектральных операторов и дифференциальных уравнений на графах, а также для исследователей, занимающихся вычислением следов операторов и анализом их асимптотических свойств.

1. Kanguzhin B.E., Kaiyrbek Zh.A., Mustafina M.O. Recovering of the Stiffness Coefficients of the Sturm-Liouville Operator on a Star Graph from a Finite Set of its Eigenvalues // Lobachevckii Journal of Mathematics. – 2021. – Vol. 15. – No. 6. – P. 2725–2730.

2. Bondarenko N.P. Inverse problem for a differential operator on a star-shaped graph with nonlocal matching condition. – Bol. Soc. Mat. Mex. – 2023. – Vol. 29. – No. 2. https://doi.org/10.1007/s40590-022-00476-x

3. Савчук А.М. Регуляризованный след первого порядка оператора Штурма-Лиувилля с -потенциалом // Успехи мат. наук. – 2000. – Т. 55. – № 6. – С. 155–156.

4. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об одном простом тождестве для собственных значений дифференциального оператора второго порядка. // Докл. АН СССР. – 1953. – Т. 88. – № 4. – С. 593–596.

5. Садовничий В.А., Подольский В.Е. Следы операторов // Успехи мат. наук. – 2006. – Т. 61. – № 5. – С. 89–156.

6. Наймарк М.А. Линейные дифференциальные операторы. – Физматлит, 2010.

7. Nazarov A.I., Stolyarov D.M., Zatitskiy P.B. The Tamarkin equiconvergence theorem and a first-order trace formula for regular differential operators revisited // J. Spectr. Theory. – 2014. – Vol. 4. – No. 2. – P. 365–389.

8. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Формула следа для операторов Штурма-Лиувилля с сингулярными потенциалами // Мат. заметки. – 2001. – Т. 69. – № 3. – C. 427–442.

9. Гальковский Е.Д., Назаров А.И. Общая формула следов для дифференциального оператора на отрезке при возмущении младшего коэффициента конечным зарядом // Алгебра и анализ. – 2018. – Т. 30. – № 3. – С. 30–54.

10. Беллман Р., Кук К.Л. Дифференциально-разностные уравнения. – М., 1967

11. Кангужин Б.Е., Нурахметов Д.Б., Анияров А.А., Сатпаева З. Регуляризованный след оператора двукратного дифференцирования на граф-звезде// Differential Equations. – 2025.

12. Kirsten, K. Spectral Functions in Mathematics and Physics. – CRC Press., 2001.

13. Erdal G., Aylan C. A Second Regularized Trace Formula for a Fourth Order Differential Operator // Symmetry. – 2021. – No. 4. – P. 629.

14. Иманбаев Н.С., Садыбеков М.А. Первый регуляризованный след дифференциального оператора типа Штурма–Лиувилля на отрезке с проколотыми точками // Вестник КазНУ. Серия математика, механика, информатика. – 2014. – № 2. – С. 66–71.

15. Bondarenko N.P. Linear Differential Operators with Distribution Coefficients of Various Singularity Orders // arXiv preprint. – 2022.

16. Савчук А.М., Шкаликов А.А. Операторы Штурма–Лиувилля с потенциалами-распределениями // Труды Московского математического общества. – 2003. – № 64. – С. 159–212.

17. Кангужин Б.Е., Токмагамбетов Н.Е. О формуле регуляризованного следа корректно возмущенного оператора Лапласа // Доклады Академии наук. –2013.

18. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Регуляризованный след двумерного гармонического осциллятора // Математический сборник. – 2001. – № 2. – С. 109–138.

19. Садовничий В.А., Фазуллин З.Ю. Асимптотика собственных чисел и формула следа возмущения оператора Лапласа на сфере S² // Математические заметки. – 2005. – № 3. – С. 434–448.

20. Фазуллин З.Ю., Муртазин Х.Х. Формула регуляризованного следа для возмущений из класса Шатена–фон Неймана дискретных операторов. – Башкирский университет, 2015.

21. Bondarenko N.P. Regularization and inverse spectral problems for differential operators with distribution coefficients // arXiv preprint, 2023.

22. Law C.K., Pivovarchik V. Characteristic functions of quantum graphs // Journal of Physics A: mathematical and theoretical, 2009.