ПАРАБОЛАЛЫҚ ЖӘНЕ ГИПЕРБОЛАЛЫҚ ТИПТЕГІ ТЕҢДЕУЛЕР ҮШІН АҚЫРЛЫ АЙЫРЫМДЫҚ СХЕМАНЫҢ ТҰРАҚТЫЛЫҚ ШАРТЫ: БӨЛШЕК РЕТТІ ДИФФУЗИЯ ТЕҢДЕУЛЕРІ ҮШІН АҚЫРЛЫ КӨЛЕМДЕР ӘДІСІНІҢ САЛЫСТЫРЫЛУЫ

Бұл зерттеуде ақырлы айырымдар әдісі мен ақырлы көлемдер әдісінің тиімділігі салыстырмалы түрде талданады. Бұл әдістер бүтін ретті диффузия теңдеулері үшін кеңінен қолданылғанымен, уақыт бойынша бөлшек ретті диффузия теңдеулері үшін олардың орнықтылығы мен дәлдігі жеткілікті деңгейде зерттелмеген. Зерттеу барысында Грюнвальд-Летников анықтамасы негізінде бөлшек ретті туындыны жуықтау әдісі қолданылды. Ақырлы айырымдар әдісі үшін айқын айырымдық схема құрылып, уақыт бойынша бөлшек ретті айырма схемасының орнықтылық шарты қорытып шығарылды. Бұл шарт параболалық және гиперболалық теңдеулер үшін жалпылама түрде ұсынылып, уақыт бойынша бөлшек ретті схемалар үшін бұрын-соңды белгісіз болған орнықтылық критерийін анықтауға мүмкіндік берді. Сонымен қатар, ақырлы көлемдер әдісі негізінде уақыт бойынша бөлшек ретті екі өлшемді субдиффузия теңдеулерін шешуге арналған айқын дискретті схема ұсынылды. Сандық модельдеу нәтижелері көрсеткендей, ақырлы айырымдар әдісі жоғары дәлдікке ие, ал ақырлы көлемдер әдісі күрделі геометриялық пішіндер үшін неғұрлым тиімді. Алынған нәтижелер аномальды диффузия процестерін модельдеуде сандық әдістерді жетілдіруге маңызды негіз бола алады.

1. Westerlund S. Dead matter has memory! Physica Scripta, 1991, vol. 43, pp. 174–179.

2. Westerlund Causality S. Report 940426, University of Kalmar, 1994.

3. Caputo M. Free modes splitting and alterations of electrochemically polarizable media. Rend. Fis. Acc. Lincei, 1991, ser. 9–4, pp. 89–98.

4. El-Nabulsi A.R. Cosmology with Fractional Action Principle. Romanian Reports in Physics, 2007, vol. 59, no. 3, pp. 763–771.

5. Micolta-Riascos B., Millano A.D., Leon G., Erices C. and A. Paliathanasis. Revisiting Fractional Cosmology, Fractal and Fractional, 2023, vol. 7, no. 2, p. 149. https://doi.org/10.3390/fractalfract7020149

6. Carpintery A. and Mainardi F. Fractal and Fractional Calculus in Continuum Mechanics. CISM, 1997.

7. Benson D., Meerschaert M. and J. Revielle. Fractional calculus in hydrologic modeling: A numerical perspective. Advances in water resources, 2013, vol. 51, pp. 479–497. https://doi.org/10.1016/j.advwatres.2012.04.005

8. Zhang Y., Sun H.G., Stowell H.H., Zayernouri M. and S.E. Hansen. A review of applications of fractional calculus in Earth system dynamics. Chaos, 2017 Solitons & Fractals, vol.102, pp. 29–46. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2017.03.051

9. Tarasov V.E. Continuous Medium Model for Fractal Media. Physics Letters A, 2005, no. 336, pp. 167–174. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2005.01.024

10. Usman M., Makinde O.D., Khan Z.H, Ahmad R. and W.A. Khan. Applications of fractional calculus to thermodynamics analysis of hydromagnetic convection in a channel. International Communications in Heat and Mass Transfer, 2023, no. 149, p. 107105. https://doi.org/10.1016/j.icheatmasstransfer.2023.107105

11. Aleroev T.S., Aleroeva H.T., Huang J.F., Nie N.M., Tang Y.F. and S.Y. Zhang. Features of Inflow of a Liquid to a Chink in the Cracked Deformable Layer, IJMSSC, 2010, vol. 1, no. 3, pp. 333–347. https://doi.org/10.1142/S1793962310000195

12. Ninghu S. Fractional Calculus for Hydrology, Soil Science and Geomechanics, 2020. https://doi.org/10.1201/9781351032421

13. Park H.W., Choe J. and J.M. Kang. Pressure Behaviour of Transport in Fractal Porous Media Using a Fractional Calculus Approach. Energy Sources, 2000, no. 22, pp. 881–890. https://doi.org/10.1080/00908310051128237

14. Kulish V.V. and J.L. Lage. Application of Fractional Calculus to Fluid Mechanics. J. of Fluids Eng., 2002, no.124, pp. 803–805. https://doi.org/10.1115/1.1478062

15. Varieschi G. Applications of Fractional Calculus to Newtonian Mechanics. Journal of Applied Mathematics and Physics, 2018, no. 6, pp. 1247–1257. https://doi.org/10.4236/jamp.2018.66105

16. Tarasov V.E. Fractional Hydrodynamic Equations for Fractal Media. Annals of Physics, 2005, vol. 318, no. 2, pp. 286–307. https://doi.org/10.1016/j.aop.2005.01.004

17. Lundstrom B.N. and T.J. Richner. Neural adaptation and fractional dynamics as a window to underlying neural excitability. PLoS Comput. Biol, 2023, no.19. https://doi.org/10.1371/journal.pcbi.1011220

18. Harjule P. and M.K. Bansal. Fractional Order Models for Viscoelasticity in Lung Tissues with Power, Exponential and Mittag-Leffler Memories. International Journal of Applied and Computational Mathematics, 2020, no. 6. https://doi.org/10.1007/s40819-020-00872-9

19. Soares J., Jarosz S. and F. Costa Fractional growth models: Malthus and Verhulst. C.Q.D. Revista Eletrônica Paulista de Matemática, 2022, no. 22, pp. 162–177. https://doi.org/10.21167/cqdv22n22022162177

20. Xin Shen Applications of Fractional Calculus in Chemical Engineering, 2018, Ottawa, Canada.

21. Sugandha Arora, Trilok Mathur, Shivi Agarwal, Kamlesh Tiwari and Phalguni Gupta Applications of fractional calculus in computer vision: A survey. Neurocomputing, 2022, no. 489, pp. 407–428. https://doi.org/10.1016/j.neucom.2021.10.122

22. Ting Chen and Derong Wang Combined application of blockchain technology in fractional calculus model of supply chain financial system. Chaos, Solitons & Fractals, 2020, no.131, p. 109461. https://doi.org/10.1016/j.chaos.2019.109461

23. Alinei-Poiana T., Dulf E.H. and L. Kovacs. Fractional calculus in mathematical oncology. Scientific Reports, 2023, no.13. https://doi.org/10.1038/s41598-023-37196-9

24. Tarasov V.E. Fractional dynamics: Applications of Fractional Calculus to dynamics of Particles. Fields and Media. Berlin, Springer, 2010.

25. Shkhanukov M.Kh. O shodimosti raznostnyh shem dlja differencial'nyh uravnenij s drobnoj proizvodnoj [On convergence of difference schemes for differential equations with fractional derivative], Reports of the Academy of Sciences, 1996, vol. 348, no. 6, pp. 746–748 [in Russian]

26. Alikhanov A.A. A new difference scheme for the time fractional diffusion equation. J. Comput. Phys., 2015, vol. 280, pp. 424–438. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2014.09.031

27. Hendy A.S., Pimenov V.G. and J.E. Macias-Dias. Convergence and stability estimates in difference setting for time-fractional parabolic equations with functional delay. Numerical Methods for Partial Differential Equations, 2020, vol. 36, no. 1, pp. 118–132.

28. Li D., Liao H., Sun W., Wang J. and J. Zhang. Analysis of L1-Galerkin FEMs for Time-Fractional Nonlinear Parabolic Problems. Commun. Comput. Phys., 2018, vol. 24, no. 1, pp. 86–103. https://doi.org/10.4208/cicp.OA-2017-0080

29. Li L., Zhou B., Chen X. and Z. Wang. Convergence and stability of compact finite difference method for nonlinear time fractional reaction-diffusion equations with delay. Appl. Math. and Comput., 2018, no. 337, pp. 144–152. https://doi.org/10.1016/j.amc.2018.04.057

30. Liu F., Zhuang P., Anh V., Turner I. and K. Burrage. Stability and convergence of the difference methods for the space-time fractional advection-diffusion equation. Appl. Math. Comput., 2007, no. 191, pp. 12–20. https://doi.org/10.1016/j.amc.2006.08.162

31. Pimenov V.G. and A.S. Hendy. A fractional analogue of Crank-Nicholson method for the two sided space fractional partial equation with functional delay. Ural Mathematical Journal, 2016, vol. 2, no. 1, pp. 48–57. https://doi.org/10.15826/umj.2016.1.005.

32. Gharehbaghi A., Kaya B. and G. Tayfur. Comparative Analysis of Numerical Solutions of AdvectionDiffusion Equation // Cumhuriyet science journal, 2017, no. 38, pp. 49–63. https://doi.org/10.17776/csj.53808.

33. Faure S., Pham D. and R. Temam. Comparison of finite volume and finite difference methods and applications. Analysis and Applications, 2006, vol. 4, no. 2, pp. 163–208. https://doi.org/10.1142/S0219530506000723.

34. Ali A.H., Jaber A., Yaseen M., Rasheed M., Bazighifan O. and T. Nofal. A Comparison of Finite Difference and Finite Volume Methods with Numerical Simulations: the Burgers Equation Model. Complexity, 2022.

35. Sun Y., and T. Zhang. A finite difference/finite volume method for solving the fractional diffusion wave equation. Journal of the Korean Mathematical Society, 2021, no. 58, pp. 553–569. https://doi.org/10.4134/JKMS.j190423.

36. Potapov A.A. Ocherki po razvitiju drobnogo ischislenija v rabotah A.V. Letnikova [Essays on the development of fractional calculus in the works of A.V. Letnikov], Moscow, RANSIT, 2012. [in Russian]

37. Lyakhov L.N. and E.L. Shishkina. Drobnye proizvodnye i integraly i ih prilozhenija [Fractional derivatives and integrals and their applications], 2011. [in Russian].

38. Meerschaert M.M. and C. Tadjeran Finite difference approximations for fractional advectiondispersion flow equations. Journal of Computational and Applied Mathematics, 2004, vol. 172, no. 1, pp. 65–77. https://doi.org/10.1016/j.cam.2004.01.033.

39. Uchaikin V.V. Metod drobnyh proizvodnyh [Method of fractional derivatives]. Ulyanovsk, Artishok, 2008. [in Russian].

40. Podlubny I. Fractional Differential Equations. Mathematics in Science and Engineering 198. Academic Press, San Diego, 1999.

41. Zhang T. and Q. Guo. The finite difference/finite volume method for solving the fractional diffusion equation. Journal of Computational Physics, 2018, no. 375, pp. 120–134. https://doi.org/10.1016/j.jcp.2018.08.033.

42. Wang F., Hou E., Ahmad I., Ahmad H. and Y. Gu. An Efficient Meshless Method for Hyperbolic Telegraph Equations in (1+1) Dimensions. Computer Modeling in Engineering & Sciences,128. https://doi.org/10.32604/cmes.2021.014739.