НЕРАВЕНСТВА И ТОЖДЕСТВА ХАРДИ, СВЯЗАННЫЕ С ВЕКТОРНЫМИ ПОЛЯМИ БАОУЭНДИ-ГРУШИНА И ЛАНДАУ-ГАМИЛЬТОНИАНОМ

В этой статье мы представляем взвешенное тождество Харди, связанное с векторными полями Баоуэнди-Грушина, и его приложения с применениями в контексте дифференциальных неравенств. С помощью выбора соответствующих параметров наше полученное тождество Харди, связанное с оператором Баоуэнди-Грушина, влечет за собой многочисленные формулы точного остатка для неравенств типа Харди. В коммутативном случае мы получаем улучшенные взвешенные неравенства Харди в постановке евклидова пространства. Например, в частном случае, отбрасывая неотрицательные остаточные члены, связанные с оператором Баоуэнди-Грушина, и выбирая подходящие параметры, наше тождество позволяет нам вывести улучшенное критическое неравенство Харди для радиального производного оператора с точной константой, которая, в свою очередь, не зависит от топологической размерности. Мы используем метод факторизации дифференциальных выражений, использованный Гештези и Литтлджоном в [1]. В данной статье мы демон- стрируем применение метода факторизации в некоммутативной постановке Баоуэнди-Грушина. В качестве применения полученного тождества Харди, связанного с векторными полями Баоуэнди-Грушина, мы устанавливаем неравенство Харди для обобщенного гамильтониана Ландау (или искривленного лапласиана) с определенными остаточными членами.

1. Gesztesy F., Littlejohn L.L. Factorizations and Hardy-Rellich-type inequalities. Non-linear partial differential equations, mathematical physics, and stochastic analysis, 2018, pp. 207–226, EMS Ser. Congr. Rep., Eur. Math. Soc., Zürich.

2. Hardy G.H. Note on a theorem of Hilbert. Mathematische Zeitschrift, 1920, vol. 6, pp. 314–317.

3. Kufner A., Maligranda L., Persson L.E. The Hardy inequality: About its history and some related results. Vydavatelský servis, 2007.

4. Amrein W., Boutet de Monvel-Berthier A., Georgescu V. Hardy type inequalities for abstract differential operators. Memoirs of the American Mathematical Society, 1987, vol. 70, no. 375, pp. 1–119.

5. Balinsky A.A., Evans W.D., Lewis R.T. The analysis and geometry of Hardy’s inequality, 2015, Universitext, Springer.

6. Edmunds D.E., Evans W.D. Spectral theory and differential operators (2nd ed.). Oxford Mathematical Monographs, 2018, Clarendon Press, Oxford.

7. Ghoussoub N., Moradifam A. Functional inequalities: New perspectives and new applications. Mathematical Surveys and Monographs, 2013, vol. 187, American Mathematical Society, Providence, RI.

8. Kinnunen J., Lehrbäck J., Vähäkangas A. Maximal function methods for Sobolev spaces. Mathematical Surveys and Monographs, 2021, vol. 257, American Mathematical Society, Providence, RI.

9. Garofalo N. Unique continuation for a class of elliptic operators which degenerate on a manifold of arbitrary codimension. Journal of Differential Equations, 1993, vol. 104, no. 1, pp. 117–146.

10. Gesztesy F., Pittner L. A generalization of the virial theorem for strongly singular potentials. Reports on Mathematical Physics, 1980, vol. 18, no. 2, pp. 149–162.

11. Gesztesy F. On non-degenerate ground states for Schrödinger operators. Reports on Mathematical Physics, 1984, vol. 20, no. 1, pp. 93–109.

12. Lam N., Lu G., Zhang L. Factorizations and Hardy’s type identities and inequalities on upper half spaces. Calculus of Variations and Partial Differential Equations, 2019, vol. 58, p. 183.

13. Ruzhansky M., Yessirkegenov N. Factorizations and Hardy–Rellich inequalities on stratified groups. Journal of Spectral Theory, 2020, vol. 10, no. 4, pp. 1361–1411.

14. Ruzhansky M., Suragan D., Yessirkegenov N. Sobolev type inequalities, Euler–Hilbert–Sobolev and Sobolev–Lorentz–Zygmund spaces on homogeneous groups. Integral Equations and Operator Theory, 2018, vol. 90, p. 10.

15. Ruzhansky M., Suragan D., Yessirkegenov N. Extended Caffarelli–Kohn–Nirenberg inequalities and superweights for Lp-weighted Hardy inequalities. Comptes Rendus Mathématique. Académie des Sciences, 2017, vol. 355, no. 6, pp. 694–698.

16. Ruzhansky M., Suragan D., Yessirkegenov N. Extended Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, and remainders, stability, and superweights for Lp-weighted Hardy inequalities. Transactions of the American Mathematical Society, Series B, 2018, vol. 5, no. 2, pp. 32–62.

17. Shaimerdenov Y., Yessirkegenov N. Cylindrical and horizontal extensions of critical Sobolev type inequalities and identities. Trends in Mathematics, 2024, vol. 4, pp. 167–174.

18. Shaimerdenov Y., Yessirkegenov N. Critical Sobolev-type identities and inequalities on stratified Lie groups. Trends in Mathematics, 2024, vol. 2, pp. 123–129.

19. Ruzhansky M., Shaimerdenov Y., Yessirkegenov N. Cylindrical extensions of critical Sobolev type inequalities and identities. arXiv preprint arXiv:2408.10697, 2024.

20. Laptev A., Ruzhansky M., Yessirkegenov N. Hardy inequalities for Landau Hamiltonian and for Baouendi-Grushin operator with Aharonov-Bohm type magnetic field. Part I. Mathematica Scandinavica, 2019, vol. 125, no. 2, pp. 239–269.