ОБ ОДНОЙ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА С БОЛЕЕ ОБЩИМИ ГРАНИЧНЫМИ УСЛОВИЯМИ

В данной работе мы рассматриваем спектральную задачу для оператора Лапласа с более общими краевыми условиями в единичном круге B₁. В частных случаях краевые условия включают периодические и краевые условия типа Самарского-Ионкина. Основное важное свойство нашей задачи – это ее несамосопряженность, что вызывает ряд трудностей при аналитических и численных решениях. Например, метод Фурье для разделения переменных не может быть применен напрямую к нашей задаче. Поэтому в данной работе обосновывается возможность применения метода разделения переменных. А именно мы представляем метод, который сводит решение задачи к последовательному решению двух классических локальных краевых задач. С использованием этого метода мы строим все собственные функции и собственные значения задачи в явном виде. Более того, доказывается полнота системы собственных функций в L² (B₁). Примечательно, что наш результат обобщает частный случай решения двумерной задачи с периодическими краевыми условиями для оператора Лапласа, полученного в [1, 2].

1. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On an analog of periodic boundary value problems for the Poisson equation in the disk. Differential Equations, 2014, vol. 50, no. 2, pp. 268–273.

2. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh. On analogues of periodic boundary value problems for the Laplace operator in a ball. Eurasian Mathematical Journal, 2012, vol. 3, no. 1, pp. 143–146.

3. Yessirkegenov N. Spectral properties of the generalised Samarskii–Ionkin type problems. Filomat, 2018, vol. 32, no. 3, pp. 1019–1024.

4. Sadybekov M.A., Torebek B.T., Yessirkegenov N.A. On an analog of Samarskii-Ionkin type boundary value problem for the Poisson equation in the disk. AIP Conference Proceedings, 2015, 1676, Article ID 020035.

5. Dukenbayeva A., Sadybekov M., Yessirkegenov N. On a generalised Samarskii-Ionkin type problem for the Poisson equation. Springer Proceedings in Mathematics and Statistics, 2018, vol. 264, Springer, Cham., pp. 207–216.

6. Dukenbayeva A., Sadybekov M. On boundary value problems of the Samarskii–Ionkin type for the Laplace operator in a ball. Complex Var. Elliptic Equ., 2022, no. 67, pp. 369–383.

7. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek B.T. Solvability of nonlocal boundary-value problems for the Laplace equation in the ball. EJDE, 2014, pp. 1–14.

8. Sadybekov M.A., Turmetov B.Kh., Torebek,B.T. On an explicit form of the Green function of the third boundary value problem for the Poisson equation in a circle. AIP Conference Proceedings, 1611, 2014. http//doi:10.1063/1.4893843.

9. Ionkin N.I. The solution of a certain boundary value problem of the theory of heat conduction with a nonclassical boundary condition. Differ. Uravn., 1977, vol. 13, no. 2, pp. 294–304.