УПОРЯДОЧЕННАЯ СТАБИЛЬНОСТЬ И ОБОГАЩЕНИЯ ЧИСТОГО ЛИНЕЙНОГО ПОРЯДКА ОДНОМЕСТНОЙ ФУНКЦИЕЙ

Линейно упорядоченная структура называется упорядоченно стабильной, если каждое ее дедекиндово сечение имеет «малое» число расширений до полных 1-типов. Данное понятие, которое ввели Б.С. Байжанов и В.В. Вербовский, обобщает такие широко известные в среде специалистов по теории моделей понятия, как слабая о-минимальность, (слабая) квази-о-минимальность и дп-минимальность упорядоченных структур. Оно основано на соединении понятия стабильности и о-минимальности. Как мы знаем, элементарная теория любого чистого линейного порядка упорядоченно суперстабильна. Действительно, это следует из того факта, которые доказал еще Рубин в конце 70-х годов XX века, что любой тип от одной переменной определяется своим сечением и формульными подмножествами, выделяемыми одноместными предикатами или формулами от одной свободной переменной. В данной работе мы исследуем вопрос, что будет, если чистый линейный порядок обогатить одноместной функцией. Построены два примера, когда упорядоченная стабильность нарушается. Кроме того, найдены достаточные условия сохранения упорядоченной стабильности при таком обогащении языка. Исследовательская работа по данной теме еще не окончена. В идеале было бы хорошо найти критерий сохранения упорядоченной стабильности при обогащении структуры с чистым линейным порядком новой функцией от одной переменной.

1. Pillay A., Steinhorn C. Definable sets in ordered structures.1 // Trans. Amer. Math. Soc. – 1986. – Vol. 295. – P. 565–592.

2. Байжанов Б.С., Вербовский В.В. Упорядоченно стабильные теории // Алгебра и логика. – 2011. – Т. 50. – № 3. – С. 303–325.

3. Verbovskiy V.V. O-Stable Ordered Groups // Siberian Advances in Mathematics. – 2012. – Т. 22. – No. 1. – С. 50–74.

4. Verbovskiy V.V. On ordered groups of Morley o-rank 1. // Siberian Electronic Mathematical Reports. – 2018. – V. 15 – P. 314–320.

5. Dauletiyarova A.B., Verbovskiy V.V. Piecewise monotonicity for unary functions in o-stable groups // Algebra and Logic. – 2021. – V. 60. – No. 1. – P. 23–38.

6. Verbovskiy V.V. On a classification of theories without the independence property // Mathematical Logic Quarterly. – 2013. – V. 59. – P. 119–124.

7. Verbovskiy V.V. On definability of types and relative stability // Mathematical Logic Quarterly. – 2019. – V. 65. – P. 332–346.

8. Вербовский В.В. Дп-минимальные и упорядоченно стабильные упорядоченные структуры // Математический журнал. – 2010. – Т. 10. – № 2 (36). – С. 35–38.

9. Verbovskiy V.V., Yershigeshova A.D. On non-essentiality of an o-stable expansion of , Lobachevskii Journal of Mathematics. – 2023. – V. 44. – P. 5485–5492. https://doi.org/10.1134/S1995080223120387.

10. Rubin M. Theories of linear orders // Israel Journ. Math. – 1974. – No. 17. – P. 392–443.

11. Вербовский В.В., Ершигешова А.Д. Примеры линейных порядков с определяемой унарной функцией и свойством независимости // Вестник Казахстанско-Британского технического университета. – 2023. – Т. 20 (3). – С. 45–50.