ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

В замкнутой области рассматривается линейная краевая задача для параболического уравнения. На основе метода ломаных краевая задача для параболического уравнения заменяется двухточечной краевой задачей для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений путем дискретизации неизвестной функции u(t,x) по переменной x. Полученная двухточечная краевая задача исследуется методом параметризации профессора Джумабаева. На основе данного метода строится алгоритм нахождения численного решения для двухточечной краевой задачи для системы линейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Построенный алгоритм реализуется путем применения известных численных методов. Конструктивность и эффективность метода параметризации позволяет также построить численное решение рассматриваемой линейной краевой задачи для параболического уравнения. Для проверки и иллюстрации предложенного алгоритма приводится один численный пример.

1. Tikhonov A.N., Samarskii A.A.. Equations of mathematical physics. – New York: Dover Publications, 2011.

2. Vasudeva Murthy A.S., Verwer J.G. Solving parabolic integro-differential equations by an explicit integration method // J. Comput. Appl. Math. – 1992. – Vol. 39. – P. 121–132. https://doi.org/10.1016/0377-0427(92)90229-Q.

3. Day W.A. A decreasing property of solutions of parabolic equations with applications to thermoelasticity // Quart. Appl. Math. – 1983. – Vol. 40. – P. 468–475. https://doi.org/10.1090/qam/693879.

4. Bouziani A. Mixed problem with boundary integral conditions for a certain parabolic equation // J. Appl. Math. Stoch. Anal. – 1996. – Vol. 9. – P. 323–330.

5. Vladimirov V.S., Yankovsky E. A collection of problems on the equations of mathematical physics. – Germany: Springer-Verlag, 1986.

6. Trynin A.Y. On a method for solving a mixed boundary value problem for a parabolic equation using modified sinc-approximation operators // Comput. Math. and Math. Phys. – 2023. – Vol. 63. – P. 1264–1284. https://doi.org/10.1134/S0965542523050159.

7. Dehghan M. Numerical solution of a parabolic equation with non-local boundary specification // Appl. Math. Comput. – 2003. – Vol. 145. – P. 185–194. https://doi.org/10.1016/s0096-3003(02)00479-4.

8. Dalabaev U., Hasanova D. Construction of an approximate-analytical solution for boundary value problems of a parabolic equation // Mathematics and Computer Science. – 2023. – Vol. 8. – P. 39–45. https://doi.org/0.11648/j.mcs.20230802.11.

9. Colton D. The solution of initial-boundary value problems for parabolic equations by the method of integral operators // Journal of Differential Equations. – 1977. – Vol. 26. – P. 181–190.

10. Джумабаев Д.С. Обоснование метода ломаных для одной краевой задачи линейного параболического уравнения // Известия АН КазССР. Серия физико-математическая. – 1983. – № 1. – С. 8–11.

11. Асанова А.Т., Джумабаев Д.С. Об оценках решений и их производных краевой задачи для параболического уравнения // Известия МОН РК, НАН РК. Серия физико-математическая. – 2000. – № 5. – С.3–8.

12. Assanova A.T., Bakirova E.A., Kadirbayeva Zh.M. Numerically approximate method for solving of a control problem for integro-differential equations of parabolic type // News of the NAS RK. Phys.-Math. Series. – 2019. – Vol. 6. – P.14–24.

13. Dzhumabayev D.S. Criteria for the unique solvability of a linear boundary-value problem for an ordinary differential equation // USSR Comput.Math. Math. Phys. – 1989. – Vol. 29. – P. 34–46.

14. Dzhumabaev D.S. On one approach to solve the linear boundary value problems for Fredholm integrodifferential equations // J. Comput. Appl.Math. – 2016. – Vol. 294. – P. 342–357. http://dx.doi.org/10.1016/j.cam.2015.08.023

15. Dzhumabaev D.S., Bakirova E.A., Mynbayeva S.T. A method of solving a nonlinear boundary value problem with a parameter for a loaded differential equation // Math. Methods Appl. Sci. – 2020. – Vol. 4. – P. 1788–1802. https://doi.org/10.1002/mma.6003.

16. Assanova A.T., Bakirova E.A., Kadirbayeva Zh.M. A Problem with parameter for the integrodifferential equations // Math. Model. Anal. – 2021. – Vol. 26. – P. 34–54. https://doi.org/10.3846/mma.2021.11977.

17. Assanova A.T., Bakirova E.A., Kadirbayeva Zh.M., Uteshova R.E. A computational method for solving a problem with parameter for linear systems of integro-differential equations // Comput. Appl. Math. – 2020. – Vol. 39. Art. 248. https://doi.org/10.1007/s40314-020-01298-1.

18. Assanova A.T., Kadirbayeva Zh.M. On the numerical algorithms of parametrization method for solving a two-point boundary-value problem for impulsive systems of loaded differential equations // Comput. Appl. Math. – 2018. – Vol. 37. – P. 4966–4976. https://doi.org/10.1007/s40314-018-0611-9.

19. Temesheva S.M., Dzhumabaev D.S., Kabdrakhova S.S. On one algorithm to find a solution to a linear two-point boundary value problem // Lobachevskii journal of mathematics. – 2021. – Vol. 42. – P. 606–612. https://doi.org/10.1134/S1995080221030173.

20. Iskakova N.B., Temesheva S.M., Uteshova R.E. On a problem for a delay differential equations // Math. Meth. Appl. Sci. – 2023. – Vol. 46. – P. 11283–11297. https://doi.org/10.1002/mma.9181.

21. Bakirova E.A., Iskakova N.B., Kadirbayeva Zh.M. Numerical implementation for solving the boundary value problem for impulsive integro-differential equations with parameter // KazNU Bulletin. – 2023. – Vol. 119. – P. 19–29. https://doi.org/10.26577/JMMCS2023v119i3a2.

22. Бакирова Э.A., Искакова Н.Б., Темешева С.М., Кадирбаева Ж.M. Параметрі бар дифференциалдық теңдеуі үшін шеттік есептің бірмәнді шешілімділігі туралы // ҚБТУ Хабаршысы. – 2024. – Vol. 68. – P. 64–74. https://doi.org/10.55452/1998-6688-2024-21-1-64-74.

23. Kadirbayeva Zh.M., Bakirova E.A., Tleulesova A.B. Solving Fredholm integro-differential equations involving integral condition: A new numerical method // Mathematica Slovaca. – 2024. – Vol. 74. – P. 403–416. https://doi.org/10.1515/ms-2024-0031.

24. Kadirbayeva Zh.M., Kabdrakhova S.S. A numerical solution of problem for essentially loaded differential equations with an integro-multipoint condition // Open Math. – 2022. – Vol. 20. – P. 1173–1183. https://doi.org/10.1515/math-2022-0496.